Potencias De Número Naturales

Ingº Francisco Ledo Suma de las potencias de los n números naturales. Formula recursiva.

SUMATORIA DE LAS POTENCIAS DE LOS N PRIMEROS ENTEROS SUCESIVOS DETERMINACION DE LAFORMULA (1 + 1) K = ( K ) + ( K ) + .... + ( K ) K 0 1 (1 + 2) K = ( K ) + ( K )2 + .... + ( K )2 K K 0 1 . . . . . . . . K K K K (1 + N) = ( 0 ) + ( 1 )N + ( 2 )N 2 .... + ( K )NK K ___________________________________ N N N N N K (1 + i) K = ( K ) +( K ) i + ( K ) i 2 .... + ( K−1 ) i K−1 + ( K ) K 0 1 2
i=1 N i=2 i=1 i=1 i=1 i=1

N i=1

iK

i K +(1 + N) K =
(1+N) K −1−

K−2 P=0

(K) P
K P

N i=1

K i P + ( K−1 )

N i=1

i K−1 + ( K ) K

N i=2

iK + 1

K−2 P=0
K K−1

N i=1

N i=1

iP

iK−1

=

Cambiando el parametro K =H+1
H−1 (1+N) H+1 −1− P=0 H+1
H+1 P

N iP i=1

N i=1

iH =

Que es la fómula buscada Demostración de la fórmula :

Ingº FranciscoLedo F.

pag. 1

La fórmula de sumatoría de potencias de n primeros enteros, demostrada por inducción
n i=1

ih =

1 h+1

(n + 1) (h+1) − 1 −

h−1 p=0

h+1 p

ni=1

ip

.

Demostración : Para n=1 tenemos :

1 =
h 1 h+1

1 h+1

2

(h+1)

−1−

h−1 p=0 h−1 p=0

h+1 p

=

(1 + 1) (h+1) − 1 − (h + 1) + 1 − 1

h+1 ph−1 p=0

=

1 h+1

h−1 L=0

( h+1 ) − L

h+1 p

=1

Se cumple. Asumimos se cumple para n, demostremos se cumple para n+1 :
n+1 i=1

i =
h

1 h+1

(n + 1 +1)

(h+1)

−1−
h

h−1 p=0

h+1 p

n+1 i=1

ip

.

n+1 i=1

ih =

1 h+1

(n + 1) −
h−1 p=0

(h+1)

+
n

m=0 p

( h+1 )(n + 1) m − 1 m
h−1 p=0 h+1p

h+1 p

i=1

i −

(n + 1)

.
p

n+1 i=1

ih =

n i=1

i h + (n + 1) h

Por lo tanto la fórmula es valida para todo n. Ingº Francisco Ledo F. pag. 2