Potencias y Logaritmos
c)
Si el sueldo actual de un trabajador es de $1 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2%
bimestral durante cinco años o un aumento de 3% trimestral durante tres años?
2.2. Exponentes fraccionarios
Recordemos la expresión que representa una potencia,
Base
a
m
n
Exponente fraccionario
pero ahora con exponentes fraccionarios.
En la unidad 1 vimos que lapotencia con
exponente n entero y base a es igual que multiplicar
n veces la base a. De hecho, se permitía que el exponente tomara cualquier valor entero, positivo,
negativo o cero. Sin embargo, no existe ningún entero n que pueda satisfacer la ecuación:
(5n )(5n ) = 5
Ya que:
• si n > 0, entonces 5n > 5 y por lo tanto (5n )(5n ) > 5 × 5
• si n = 0, entonces 50 = 1 y por lotanto (5n )(5n ) = 1 × 1 = 1
1
• si n = − m con m > 0, entonces 5n = 5− m = m < 1
5
1 1
(5n )(5n ) = m m < 1
5 5
y por lo tanto
Si consideramos que también podemos utilizar exponentes fraccionarios y suponemos
que podemos usar las leyes de los exponentes, ¿cuánto debe valer n para que la siguiente
igualdad sea válida?
(5n )(5n ) = 5
De acuerdo con las leyes delos exponentes:
(5n )(5n ) = 5n + n = 52 n
Por lo que la ecuación inicial se transforma:
52 n = 5 = 51
Cuya solución es 2 n = 1 , es decir, n =
1 1 1+1
1
2
2
2 2
5 5 = 5 = 5 = 5
1
2
Si seguimos aplicando la ley de los signos tendremos:
m
m
1
n
n
a = a
De esta forma podemos extender las leyes de los exponentes parafracciones:
m k
,
y números a > 0 , b > 0 .
n l
54
Fundamentos para el análisis matemático
Ejemplo:
m
n
k
l
a ⋅a = a
m
an
a
k
l
m k
+
n l
1
+3
13
= 54
Ejemplo:
m k
−
n l
=a
1
5 4 ⋅ 53 = 5 4
45
4
k
2
3
=4
5−
2
3
13
= 43
Ejemplo:
m k
m l
a n = a n l
2
7
14
(2 )
7
3 4 = 3 4 = 3 4
Ejemplo:
m
n
m
n
(ab) = a ⋅ b
2
m
n
2
Ejemplo:
m
n
m
n
2
(5 ⋅ 3)3 = 5 3 3 3
a
a
= m
b
bn
4
4
2 3 23
= 4
3
33
Ejemplo:
a
m
−
n
=
1
a
3
m
n
−
2
4
=
1
2
34
m
Nota: Nunca olvides que es necesario a > 0 , porque aunque a n puede
mtener sentido para a < 0, y algún
, también puedes llegar a resultados
n
contradictorios.
Por ejemplo:
1
1
((−1)2 )2 = (1)2 = 1
y
(−1)
Por lo tanto:
((−1)2 )2 ≠ (−1)
La diferencia proviene de aplicar las leyes de los exponentes a una base negativa,
1
(2 )
2
1
2
= (−1)2 = (−1)1 = −1
1
(2 )
2
eneste caso (–1).
55
UNIDAD 2
Ejemplo 7
Simplifica las siguientes expresiones.
1
2
1 2
+
3
a) a 2 ⋅ a 3 = a 2
3
b)
a5
a
3 1
−
4
= a5
1
4
3
c) a 7
−
1
3
=a
=a
=a
12 − 5
20
3 1
−
7 3
3+ 4
6
7
= a6
7
= a 20
=a
−
3
21
1
=
3
a 21
1
1
1 7
= 1 =
a
a7
4
2
4
3 2
2 2
6
4
−
−
(b)21 (b)21
− 3 2 3
d) a 4 b 7 = (a) 4 3 (b) 7 3 = (a) 12 (b)21 =
=
6
1
(a)12 (a)2
5
(2 )
5
6
10
6
a
a
a
e) 3 =
= 15
5
(3)
b
b6
b 6
2
6
1
a
a3
= 5 = 1
b2 b2
Actividad 2
Simplifica las siguientes expresiones.a)
4
5
a3 ⋅ a4 =
3
a2
b) 4 =
a
6
c)
a7
5
=
a2
2
3 3
d) a 5 =
4
a5 5
e) 10 =
b
4
f) a 3 b 2
56
−
6
2
=
5
3
5
Fundamentos para el análisis matemático
Actividad 3
Utiliza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplificar las siguientes expresiones.
a)...
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