Prácticas sistemas automáticos
Páginas: 5 (1046 palabras)
Publicado: 12 de diciembre de 2011
SISTEMAS
AUTOMÁTICOS
Práctica 6
Equivalentes discretos para un controlador continuo
Alberto Benítez-Cano Pérez
4º Ingeniería Industrial
En esta práctica primeramente debemos diseñar un compensador que haga que los polos dominantes de lazo cerrado tengan una frecuencia natural de 0,3 rad/sg y un factor de amortiguamiento δ=0.7 para el siguiente sistema de control.
[pic]Los polos de lazo cerrado deseados con esas especificaciones son:
[pic]
y sustituyendo en nuestro caso:
s=-0.21[pic]0,21424j
Como vemos G(s) es inestable ya que si calculamos los polos de G(s) los tenemos en s=0.
Realizando las convenientes operaciones (al igual que hicimos en la práctica 1 de la asignatura) obtendremos el siguiente compensador:
D(s)=[pic]Del cual nos valdremos para obtener la información y resultados pedidos en el guión de prácticas.
Antes de nada debemos evaluar el periodo de muestreo “T”, ya que sin éste no podremos poder calcular por cualquiera de los dos métodos conocidos (Tustin y mapa polo-cero) nuestro equivalente discreto.
Sabemos que teóricamente nuestro periodo de muestreo debe estar comprendido entre 6y 20 veces el valor del ancho de banda “BW”, pero en este caso no podemos calcularlo, ya que en tal caso necesitaríamos trabajar en lazo cerrado y estamos haciendo una aproximación por lo que nos serviremos del lazo abierto y por tanto asignaremos ese valor a la frecuencia de cruce o la frecuencia natural. En nuestro caso lo aproximaremos a 20 veces de nuestra frecuencia natural, ωn.
[pic]Primeramente calcularemos nuestro compensador discreto a través de la regla de Tustin.
En este caso debemos efectuar el cambio:
[pic]
Por lo que sustituyendo en D(s), obtendremos el compensador en la forma discreta D(z) para T=1:
D(z)[pic]
Ahora nos centraremos en la forma “Mapa polo-cero” (que consiste en sustituir los ceros de H(s) por ceros de H(z) según lacorrespondencia [pic], actuando de similar forma para los polos de H(s)).
En nuestro caso H(s)= D(s)= [pic].
Cero: s=-0,2 entonces cero en [pic]
Polo: s=-2 entonces polo en [pic]
Llegamos a que:
D(z)=Kd[pic]
Para calcular Kd solo tenemos que introducir la siguiente ecuación y despejar su valor:
[pic]
Sustituyendo dependiendo del periodo de muestreoescogido obtendremos un tipo de equivalente discreto del compensador. Para nuestro primer caso T=1 sg. Entonces nuestro equivalente discreto para la regla mapa polo-cero:
[pic]
Ahora a través de la herramienta “Simulink” perteneciente a Matlab, trataremos de comparar los diferentes compensadores obtenidos para distintos tiempos de muestreos T (0,1sg; 1sg; 10sg) con la respuesta delsistema continuo y también entre ellos mismos. Para ellos nos serviremos de una entrada escalón unitario, y primeramente compararemos los compensadores obtenidos con periodo de muestreo T=1
[pic]
Como podemos observar los controladores discretos (color rojo y color verde) aumentan el sobreimpuslo de la planta, obteniéndose así una salida menos amortiguada y mucho más rápida. Esto esdebido al retenedor de orden 0 (ya que mantener el valor durante todo el periodo de muestreo introduce un retardo de T/2 segundos). Este retardo de valor T/2 segundos responsable que disminuya el amortiguamiento de la respuesta.
Ahora subiremos el valor del tiempo de muestreo a 10 segundos y analizaremos como funciona la respuesta. Sirviéndonos de Matlab y más concretamente del comando “c2d”obtendremos fácilmente los valores de los comparadores discretos tanto para Tustin como para la forma mapa polo-cero.
En el caso de nuestro compensador:
Según Tustin con un periodo de muestreo T=10 segundos:
[pic]
En el caso de Mapa polo-cero:
[pic]
Mediante la función Scope en el Simulink obtuvimos:
[pic]
Claramente la salida es...
AUTOMÁTICOS
Práctica 6
Equivalentes discretos para un controlador continuo
Alberto Benítez-Cano Pérez
4º Ingeniería Industrial
En esta práctica primeramente debemos diseñar un compensador que haga que los polos dominantes de lazo cerrado tengan una frecuencia natural de 0,3 rad/sg y un factor de amortiguamiento δ=0.7 para el siguiente sistema de control.
[pic]Los polos de lazo cerrado deseados con esas especificaciones son:
[pic]
y sustituyendo en nuestro caso:
s=-0.21[pic]0,21424j
Como vemos G(s) es inestable ya que si calculamos los polos de G(s) los tenemos en s=0.
Realizando las convenientes operaciones (al igual que hicimos en la práctica 1 de la asignatura) obtendremos el siguiente compensador:
D(s)=[pic]Del cual nos valdremos para obtener la información y resultados pedidos en el guión de prácticas.
Antes de nada debemos evaluar el periodo de muestreo “T”, ya que sin éste no podremos poder calcular por cualquiera de los dos métodos conocidos (Tustin y mapa polo-cero) nuestro equivalente discreto.
Sabemos que teóricamente nuestro periodo de muestreo debe estar comprendido entre 6y 20 veces el valor del ancho de banda “BW”, pero en este caso no podemos calcularlo, ya que en tal caso necesitaríamos trabajar en lazo cerrado y estamos haciendo una aproximación por lo que nos serviremos del lazo abierto y por tanto asignaremos ese valor a la frecuencia de cruce o la frecuencia natural. En nuestro caso lo aproximaremos a 20 veces de nuestra frecuencia natural, ωn.
[pic]Primeramente calcularemos nuestro compensador discreto a través de la regla de Tustin.
En este caso debemos efectuar el cambio:
[pic]
Por lo que sustituyendo en D(s), obtendremos el compensador en la forma discreta D(z) para T=1:
D(z)[pic]
Ahora nos centraremos en la forma “Mapa polo-cero” (que consiste en sustituir los ceros de H(s) por ceros de H(z) según lacorrespondencia [pic], actuando de similar forma para los polos de H(s)).
En nuestro caso H(s)= D(s)= [pic].
Cero: s=-0,2 entonces cero en [pic]
Polo: s=-2 entonces polo en [pic]
Llegamos a que:
D(z)=Kd[pic]
Para calcular Kd solo tenemos que introducir la siguiente ecuación y despejar su valor:
[pic]
Sustituyendo dependiendo del periodo de muestreoescogido obtendremos un tipo de equivalente discreto del compensador. Para nuestro primer caso T=1 sg. Entonces nuestro equivalente discreto para la regla mapa polo-cero:
[pic]
Ahora a través de la herramienta “Simulink” perteneciente a Matlab, trataremos de comparar los diferentes compensadores obtenidos para distintos tiempos de muestreos T (0,1sg; 1sg; 10sg) con la respuesta delsistema continuo y también entre ellos mismos. Para ellos nos serviremos de una entrada escalón unitario, y primeramente compararemos los compensadores obtenidos con periodo de muestreo T=1
[pic]
Como podemos observar los controladores discretos (color rojo y color verde) aumentan el sobreimpuslo de la planta, obteniéndose así una salida menos amortiguada y mucho más rápida. Esto esdebido al retenedor de orden 0 (ya que mantener el valor durante todo el periodo de muestreo introduce un retardo de T/2 segundos). Este retardo de valor T/2 segundos responsable que disminuya el amortiguamiento de la respuesta.
Ahora subiremos el valor del tiempo de muestreo a 10 segundos y analizaremos como funciona la respuesta. Sirviéndonos de Matlab y más concretamente del comando “c2d”obtendremos fácilmente los valores de los comparadores discretos tanto para Tustin como para la forma mapa polo-cero.
En el caso de nuestro compensador:
Según Tustin con un periodo de muestreo T=10 segundos:
[pic]
En el caso de Mapa polo-cero:
[pic]
Mediante la función Scope en el Simulink obtuvimos:
[pic]
Claramente la salida es...
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