Pr Ctica N 4

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE ESTADISTICA
Curso: Calculo III

Práctica Nº 4

Semestre 2015-II

1. Traza la gráfica de la imagen de la siguientes
funciones
a. 𝑓 (𝑡) = (cos 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
b. 𝑓 (𝑡) = (𝑡, 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
c. 𝑓 (𝑡) = (𝑎 cos 𝑡 , 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑏𝑡 ) , 𝑎 > 0

7.

2.

3.

1

𝑓 (𝑡) = (𝑡,1+𝑡 2 , 𝑡 2 )
𝑓 (𝑡) = (𝑠𝑒𝑛 3𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛 3𝑡. 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡 )
𝑓 (𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 5𝑡)
𝑓 (𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑙𝑛𝑡)
𝑓 (𝑡) = (𝑡 3 , 𝑡 2 |𝑡|)

Determine el punto de interceccion de la
recta 𝑓(𝑡) = (9 + 3𝑡, −10 − 4𝑡, 7 + 2𝑡)
con el plano YZ
Encuentre la ecuación paramétrica de las
siguientes curvas
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 ,𝑧 = 0
b. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 ,𝑧 = 0
c. 3𝑥 2 = 𝑦 , 𝑧 = 0
d. (𝑥 − 1)2 + 4(𝑦 − 2)2 =4 ,𝑧 = 0

4.

Defina una función del intervalo [-2,2] en
ℝ3 cuya imagen sea el triángulo de
vértices: (3,2,-1) , (2,0,1) y (1,-2,1)

5.

Sea ℎ(𝑡) = (𝑡 + 4, 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑎2𝑡 )
,
𝜑(𝑡) = (ln(𝑡 + 1) , 𝑡, tan 𝑡)
y
1 2
𝜌(𝑡) = 4 𝑡 + cos 4𝑡 .
calcular las
siguientes funciones y determine su
dominio de definición
ℎ+𝜑 ,
ℎ. 𝜑 ,
ℎ×𝜑 ,
2ℎ × (𝜌𝜑) , (𝜌ℎ). 𝜑

6.

Encuentre la función vectorial que
representa la curvade intersección de dos
curvas
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 , 𝑧 = 𝑥𝑦
b. 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 = 1 + 𝑦
c. 𝑧 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 2 = 𝑦

de

curvas

1
𝑡)
12
1
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡(𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 2 cos 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡)
12
Se dice que es una curva de mariposa

d. 𝑓 (𝑡) = (1+𝑡 2 , 1+𝑡 3 )
e.
f.
g.
h.
i.

conjunto

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡(𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 2 cos 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡

3𝑡 2

3𝑡

la gráfica del
paramétricas

8.

hallar el dominio d las siguientes funciones
2
a. 𝑓(𝑡) = (ln(4 − 𝑡 2 ) , 𝑡 ln( ))
b. 𝑓 (𝑡) = (−𝑡√9 −

9.

𝑡 2 −1 𝑡 2 −3𝑡+2

𝑡→1

𝑡 2 +𝑡−2

2 𝑠𝑒𝑛𝑡 1−cos 𝑡

b. lim (
𝑡→0

c. lim (
𝑡→𝜋

,

𝑡

𝑡

, (𝑡 2 + 2)𝑒 𝑡−1 )
, 𝑒𝑡

2 −1

)

1+cos 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 tan(𝑡−𝜋)
𝑡−𝜋

,

𝑡−𝜋

d. lim+ (1 − ⟦𝑡⟧,

,

𝑡−𝜋

1+cos 𝜋𝑡

𝑡→1

11.

+ 𝑡 ))

Calcular los siguientes limites:
a. lim ( 𝑡−1 ,

10.

𝑡−3
𝑡
2
𝑡 , 𝑡−3 , ln(2

1−𝑡

Analizar la continuidad
|𝑡−3|
( 𝑡−3 , 𝑡 2 ),
(
)
a. 𝑓 𝑡= {
(0,0),
2
4
(𝑡−1 , 𝑡−2),
(
)
b. 𝑓 𝑡 = {
(0,0),

)

, √𝑡 − 1)

𝑡≠3
𝑡=3
𝑡 ≠ 1, 𝑡 ≠ 2
𝑡 = 1 ,𝑡 = 2

Indique los intervalos de continuidad
𝑡
a. 𝑓 (𝑡) = (𝑡 2 −4 , 𝑡, 3𝑡 2 )
b. 𝑓 (𝑡) = (𝑒 −𝑡 , ln(1 − 𝑡), cos 2𝑡)
1
c. 𝑓 (𝑡) = (ln(𝑡 + 1), , 𝑡)
3

−1

𝑡
1

d. 𝑓 (𝑡) = ( √𝑡, 𝑡 2 −1 , 𝑡 2 −4)
12.

Si
𝑓 (𝑡) = (𝑡, 𝑡, 𝑡 2 )
,
𝑔(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡)
, 𝜑(𝑡) = 𝑒 −𝑡 ,
hallar:
𝑑2

a. 𝑑𝑡 𝑔(𝑡)
b. (𝑓. 𝑔)′
𝑑
c. 𝑑𝑡 (𝑓×g)
d.

𝑑

𝑑𝑡

[𝑓(𝜑(𝑡))]

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Curso: Calculo III

e.
13.

14.

𝑑
𝑑𝑡

𝑣2

‖𝑓(𝜑(𝑡))‖

y está dirigido de P hacia el centro de
la circunferencia.
𝑏

Consideremos el arco C de la hélice
cilíndrica descrita por
𝑓(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡) 𝑡 ∈ [0, 𝜋/2]Demuestre que en ningún punto de C ,
𝑓′(𝑡) es paralelo a la cuerda de 𝑓(0) a
𝑓(𝜋/2)
Para las siguientes curvas , halle las
ecuaciones de las rectas tangentes
horizontales calculando los valores de t
𝑑𝑦
para los cuales 𝑑𝑡 = 0 , y obtenga
ecuaciones de las rectas tangentes
verticales calculando los valores de t para
𝑑𝑥
los cuales 𝑑𝑡 = 0
a. 𝑓 (𝑡) = (𝑡 2 + 𝑡, 𝑡 2 − 𝑡)
3𝑎𝑡

18.

Se dispara una bala conuna velocidad
inicial 𝑣0 con un rifle cuyo cañón tiene su
boca a una altura de ℎ0 metros sobre el
sueldo. la única fuerza que actúa sobre la
bala es debida a la gravedad, que produce
la aceleración g . determinar la posición a
los t segundos.

19.

Un jugador de béisbol lanza una pelota a
una distancia de 250 pie .¿ cuál es la
rapidez inicial de la pelota si fue lanzada
a un ángulo 45° conrespecto al suelo.

20.

Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ3 tal que ‖𝑓 ‖ = 𝑘 ,
donde k =constante. demostrar que 𝑓(𝑡) y
𝑓′(𝑡) son ortogonales.

21.

Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ3 una función vectorial ,
tal que existe 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ , 𝑓′′′ demostrar
𝑑
a. 𝑑𝑡 [𝑓 𝑓 ′ 𝑓 ′′ ] = [𝑓 𝑓 ′ 𝑓 ′′]

3𝑎𝑡 2

b. 𝑓 (𝑡) = (1+𝑡 3 , 1+𝑡 3 )
15.

16.

17.

Resolver:
a. Sea ∝ (𝑡) = (2 cos 2 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛2𝑡, 2𝑠𝑒𝑛 𝑡)
, 0 < 𝑡 ≤ 𝜋/2 . calcular el vector...