Practica de Aplicacion de Ecuaciones Diferenciales

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III. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
3.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y TRAYECTORIAS OBLICUAS
Una aplicación interesante es usar las ED para encontrar curvas que intersecan a otras curvas
en “ángulos constantes”, situación que se da con mucha frecuencia en la práctica. Cualquier
curva que corte a cada uno de los miembros de una familia dada de curvas bajo unángulo
constante “𝛼”, se llama “Trayectoria 𝛼” de la familia. El “ángulo de intersección de dos curvas”
se define como el ángulo entre las Tangentes de las curvas en el punto de intersección.

3.1.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Se dan casos de “dos familias de curvas” en las que cada curva de una familia es ortogonal
(perpendicular) a cada curva de la otra familia. Por ejemplo: los paralelos y losmeridianos del
globo terrestre, cada meridiano es ortogonal a cada paralelo donde quiera que se corten (es
decir, las rectas Tangentes de cada curva en el punto de intersección son perpendiculares). En
un campo eléctrico, las curvas de fuerza eléctrica (dibujadas en líneas punteadas) son
ortogonales de las líneas de equipotencial (curvas de igual potencia ó curvas de voltaje
constante,dibujadas en líneas gruesas).

Prof. Alejandro Hernández Espino. Universidad Tecnológica de Panamá

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 DEFINICIÓN: Cuando todas las curvas de una familia de curvas 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 cortan
𝜋
ortogonalmente (ángulo constante de 𝛼 = ), a todas las curvas de otra familia de curvas
2
𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0, se dice que todas las curvas de una familia son “Trayectorias Ortogonales”
de la otra familia yviceversa. Es decir, una “Trayectoria Ortogonal” es una curva cualquiera
que corta en ángulo recto a todas las curvas de otra familia.
 TEOREMA: Dos curvas son ortogonales en un puntos si y sólo sí sus tangentes son
perpendiculares en el punto de intersección.

 MÉTODO GENERAL DE SOLUCIÓN
Para obtener una Familia de Trayectorias Ortogonal de una curva dada:
a.

Dada la Familia de curvas𝐹(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0

b.

Se encuentra la ED 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) que describe a esta familia de curvas. Es decir, al igual que
se hacía en las primitivas, se elimina la constante arbitraria “𝐶” por derivación y se obtiene
la ED de esta familia.

c.

Se encuentra la ED de la Segunda familia de curvas la cual es ortogonal a la primera. Como
la segunda familia es ortogonal a la primera, la relación de laspendientes de las rectas
tangentes de las dos familias son “la inversa negativa la una de la otra”. Recordando que las
pendientes de las rectas tangentes es la derivada en el punto, entonces:

𝑑𝑦

𝑑𝑦
= 𝑓 ( 𝑥, 𝑦) →
𝑑𝑥

𝑑𝑦
1
=−
𝑑𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦)

d.

Se resuelve esta segunda ED y su solución representa la Familia de curvas buscada
ortogonal a la primera: 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0

e.

Lasolución es 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0
Prof. Alejandro Hernández Espino. Universidad Tecnológica de Panamá

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Ejemplos:
1. Determinar las Trayectorias Ortogonales de las familias de rectas 𝑦 = 𝐶𝑥

2.

Determinar las Trayectorias Ortogonales de las familias de parábolas 𝑦 = 𝐶𝑥 2

3.1.2. TRAYECTORIAS OBLICUAS
 DEFINICIÓN: Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 una Familia uniparamétrica de curvas. Una curva que
𝜋intersecta a las curvas de la Familia 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 en ángulo constante “𝛼” (𝛼 ≠ 2 )”, se
llama “Trayectoria Oblicua” de la familia dada.
 MÉTODO GENERAL DE SOLUCIÓN
Para obtener una Familia de Trayectorias Oblicuas que intersecan a una familia de curvas
en ángulos constantes “𝛼”:
Prof. Alejandro Hernández Espino. Universidad Tecnológica de Panamá

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a. Dada la Familia de curvas 𝐹(𝑥, 𝑦,𝐶) = 0
𝑑𝑦

b. Se encuentra la ED 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) que describe a esta familia de curvas. Es decir, al igual que
se hacía en las primitivas, se elimina la constante arbitraria “𝐶” por derivación y se obtiene la
ED de esta familia.
c. Se encuentra la ED de la Segunda familia de curvas la cual intersecan en ángulo constante
“𝛼” a la primera:
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑓( 𝑥, 𝑦) + 𝑇𝑎𝑛 𝛼
= 𝑓( 𝑥, 𝑦) →
=
𝑑𝑥
𝑑𝑥...