Precios de opciones

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FIJACION DE PRECIOS DE OPCIONES Y
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ESTIMACION DE DIFUSIONES NO AFINES

Gonzalo Lezma Florida

UNI-IMCA

Julio 2013

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FIJACION DE PRECIOS DE OPCIONES Y
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ESTIMACION DE DIFUSIONES NO AFINES
Gonzalo Lezma Florida
Resumen
El presente documento presenta un m´todo para la fijaci´n de precios de
e
o
instrumentos derivados en los casos en que las difusiones que caracterizan laevoluci´n de las variables subyacentes son procesos continuos markovianos
o
no afines. El m´todo incluye desde la estimaci´n de los par´metros hasta
e
o
a
la fijaci´n final del precio de la opci´n. Se presenta la implementaci´n del
o
o
o
m´todo de expansi´n de verosimilitudes propuesto por Ait Sahalia (2008)
e
o
para estimar los par´metros de las difusiones. Usando estas expansiones
a
seestiman los par´metros que definen las difusiones bajo la medida de
a
probabilidad objetiva y neutral al riesgo para finalmente usar el M´todo de
e
montecarlo para fijar el precio de la opci´n.
o

1

1.

Introducci´n
o

Las t´cnicas modernas de fijaci´n de precios de activos derivados y de renta fija
e
o
com´nmente suponen una ley de movimiento que caracteriza la evoluci´n de losfactou
o
res que determinan el precio de dichos activos. Esta ley de movimiento es t´
ıpicamente
especificada mediante un proceso estoc´stico de estado y tiempo continuo como el que
a
se especifica en (1).

dXt = µ(Xt )dt + σ(Xt )dWt

(1)

Un proceso en tiempo continuo especifica evoluci´n de una o m´s variables mediante
o
a
una ecuaci´n diferencial estoc´stica. De aqu´ en adelante y comoes est´ndar se llamar´ a
o
a
ı
a
a
µ(.) viro (drift) y al t´rmino σ(.) difusi´n.
e
o
La evidencia emp´
ırica sustenta que una correcta especificaci´n es importante ya que
o
diferentes modelos pueden implicar precios significativamente distintos para el mismo
activo. Actualmente, en la literatura concerniente a fijaci´n de precios de instrumentos
o
de deuda y opciones, los modelos queincluyen un viro lineal han sido particularmente
muy usados ya que para esos casos expresiones anal´
ıticas para las funciones de densidad
de transici´n pueden ser derivadas.
o
Para el caso concreto de tasas de inter´s Ait-Sahalia (1996) [3] muestra lo siguiente:
e
1. Las distribuciones reales de tasas de inter´s difieren de las distribuciones generadas
e
por los modelos en tiempo continuoque generalmente se especifican en finanzas.
2. Los viros lineales son la fuente principal de los errores de especificaci´n.
o
3. Se sugiere que especificaciones no lineales pueden permitir replicar la evoluci´n
o
de tasas de inter´s.
e
La Figura (2) muestra la evoluci´n de la tasa de inter´s de bonos municipales. Esta
o
e
serie fluct´a alrededor de aproximadamente 4.5 %, asimismo se observaque la serie no
u
se asemeja del todo al de una serie estacionaria sino que fluctua libremente entre 4.0 y
5.5 %. Tan pronto como la serie pasa el umbral de 5.0 % regresa al rango de 4.0 a 5.0 %.
El comportamiento de esta serie sugiere que para capturar dicho comportamiento el
viro debe asemejarse al de la funci´n mostrada en la Figura (2).
o
Obs´rvese que el viro lineal hace regresar laserie al valor 4.5 % de manera uniforme
e
para cualquier valor de la tasa de inter´s mientras que el no lineal se acerca a cero dentro
e
del intervalo [4,0 5,0] mientras que hace regresar la serie r´pidamente al rango de 4 y
a
5%

2

Figura 1: Tasa de inter´s de bonos municipales
e

Figura 2: Especificaci´n Lineal y no lineal del viro
o

Figura 3: Credit Default Swap Spreads (puntosb´sicos)
a
La evoluci´n de los CDS mostrados en la Figura (3) sugiere viros m´s complicados
o
a
como el presentado en la Figura (4) el cual presenta un punto estable por debajo de 5 %
en 200 % y 600 % y un punto inestable en 400 %
El problema principal de estudiar precios de activos con subayacente siguiendo especificaciones m´s complejas para los t´rminos viro y difusi´n es que com´nmente...