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Captulo 9


LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES



9.1. Introduccion

El concepto de lmite en Matematicas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funcion en un determinado punto o en el infinito.

Veamos un ejemplo: Consideremos la funcion dada por la grafica de la figura y fijemonos en el punto x = 2 situado en el eje de abscisas:Que ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviendonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001.

Vemos en la figura que en este caso las imagenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y = 3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999en este caso las imagenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambien al mismo valor, y = 3.

Concluimos que el lmite de la funcion f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cual expresamos como:
lm f(x) = 3

x→?2

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el lmite de una funcion en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la funcion, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Oxa dicho punto.


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Sin embargo la expresion matematica rigurosa de lmite es algo mas compleja:

Definicion: Dada una funcion f(x) y un punto x = a, se dice que el lmite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:
lm f(x) = L
x→?a
cuando:

Dado  > 0, existe > 0 tal que siempre que |x −? a| < , entonces |f(x)−? L| < 

Lo que viene a expresar esta formulacion matematica es que si x esta “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) tambien esta muy proxima a L.


























En la practica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados lmites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma:

Definicion:
Se define el lmitelateral por la derecha de a de la funcion f(x), y se expresa como:

lm f(x)

x→?a+

al lmite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, el lmite lateral por la izquierda de a de la funcion f(x) se expresa como:

lm f(x)

x→?a−?

y se define como el lmite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad:Para que una funcion f(x) tenga lmite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos lmites laterales y coincidan, es decir:

lm f(x) = lm f(x) = lm f(x)

x→?a x→?a+ x→?a−?

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9.2. Tipos de lmites

Recordaremos algunos tipos de lmites que son conocidos:

1. Lmites infinitos en un punto finito: En la situacion deldibujo, se dice que el lmite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞?, pues a medida que la x se acerca a a, la funcion se hace cada vez mayor:
lm f(x) = +∞?

x→?a+


























(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).

De igual modo se define el lmite −?∞? cuando nos acercamos a a (por la derechao por la izquierda).(Dibuja el que falta)

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Puede ocurrir que uno de los lmites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinacion entre ellos, por ejemplo:


























En la figura anterior se cumple que:

lm f(x) = +∞?

x→?2+
y
lm f(x) = 2
x→?2−?

2. Lmites finitos en elinfinito: Se dice que una funcion tiene lmite b cuando x tiende a +∞? cuando la funcion se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

lm f(x) = b

x→?∞?

Graficamente:
























En este caso el lmite es 2 cuando x tiende a +∞?.

De igual modo se define el lmite finito cuando x tiende a −?∞?.

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