Preparacion para olimpiadas

Problema 1.
Solución

Pista

Demostrar que, al trazar las medianas de un triángulo cualquiera, éste queda dividido en seis triangulos que tienen la misma área.






★
☆
☆
☆
☆Problema 2.

Pista

Demostrar que si un triángulo tiene dos alturas iguales, entonces es isósceles.






★
☆
☆
☆
☆


Problema 3.


Pista

En un triángulo rectángulo trazamosla altura que parte del ángulo recto y el triángulo queda dividido en dos triángulos, uno de los cuales tiene el triple de área que el otro. Si la hipotenusa mide 1, ¿cuánto miden los catetos?Problema 1.
Solución

Sea un paralelogramo y supongamos que AC es su diagonal mayor. Desde C se trazan perpendiculares a las rectas AB y AD, con pies en E y F respectivamente. Demostrar que AB\cdotAE+AD\cdot AF=AC^2





★
★
☆
☆
☆


Problema 2.
Solución

Pista

Calcular la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular.






★
★
☆
☆
☆


Problema 3.Solución

Pista

En el triángulo ABC sea D el punto de corte de la bisectriz trazada desde C al lado AB. Sabiendo que el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo BCD coincide con elcentro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, ¿cuáles son los ángulos de ABC?






★
★
☆
☆
☆


Problema 4.
Solución

Pista

Sea H el ortocentro de un triángulo, P el piede una altura y Q el otro punto de corte de la recta AP (distinto de A) con la circunferencia circunscrita. Demostrar que HP=PQ.






★
★
☆
☆
☆


Problema 5.
Solución

PistaDeterminar qué condición han de cumplir las longitudes de los lados de un triángulo para que la recta que une el baricentro y el incentro sea paralela a uno de los lados, suponiendo que el triángulo noes equilátero (pues en este caso coinciden incentro y baricentro y dicha recta no está bien definida).


Problema 1.
Solución

Sea un triángulo y M el punto medio del lado BC. Si r_1 y r_2 son...