Primera

2011
CALCULO DIFERENCIAL

Luis Miguel Lozano Carvajal
Universidad del Valle
01/10/2011

CALCULO DIFERENCIAL LAS DERIVADAS
El cálculo surgió ante la necesidad de resolver cuatro grandes problemas:
a) hallar la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto.
b) determinar la velocidad y la aceleración de un cuerpo en movimiento
c) encontrar los puntos máximos y mínimos de una función
Lasderivadas tienen hoy un papel importante en la toma de decisiones: Esencialmente, el cálculo
diferencial es la matemática de cantidades cambiantes.
Muchos problemas de decisión en el mundo moderno de los negocios se analizan considerando la
tasa de cambio de una cantidad particular con respecto al cambio de otra cantidad.
Frecuentemente, los gerentes deben tomar decisiones como por ejemplo, la tasade insumos que
se debe adoptar para obtener una tasa optima de producción deseada, los ingenieros se ven
enfrentados a tomar decisiones como la máxima altura que puede alcanzar un objeto lanzado bajo
ciertas condiciones o la velocidad con que se desplaza un móvil determinando las condiciones de
su movimiento.
La derivación es una técnica matemática de excepcional importancia y versatilidad quedebe ser
estudiada a profundidad para resolver muchas situaciones de la cotidianidad.
Conceptos previos:
Es una necesidad recordar las características de la línea recta, debido a ser una de los problemas
que son enfrentados con el uso de la derivada.
Pendiente de una recta: Se define como pendiente de una recta, la medida de su elevación o
descenso de izquierda a derecha. Para encontrar dichapendiente debemos tomar dos puntos sobre
la recta (Recta no vertical). Entonces la pendiente de una recta no vertical es el cociente de
variación de sus coordenadas. Observamos cuidadosamente el siguiente gráfico.

1

Piensa en la distancia que separa 𝑥2 de 𝑥1 . Como determinarías esta distancia (De ser necesario
recurre al uso de valores numéricos). Describe tu idea__________________________________________________________________
Este cálculo determina la variación que sufre un objeto de estudio que se determina como el
incremento o la tasa de variación.
Llamaremos ∆𝑥 al incremento en 𝑥 y ∆𝑦 al incremento en 𝑦, de esta manera establecemos que
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 y ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1

La pendiente de la recta se determina como el cociente de la variación de sus coordenadas, de
esta definición podemosescribir que la pendiente de una recta es: 𝑚 =

∆𝑦
∆𝑥

=

𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1

donde por

convención nombraremos la pendiente con la letra 𝑚. Además podemos decir que este cociente
es la variación en 𝑦 debido a la variación en 𝑥, este cociente también es conocido como la rapidez
de cambio promedio o cociente de incremento. Se emplea también el término tasa promedio de
cambio.
Para determinar la ecuación deuna recta es necesario contar con la pendiente de la misma y un
punto de ella, donde luego empleamos la ecuación general 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (−1,4)
Solución: Para determinar la ecuación de recta es necesario determinar la pendiente de la misma,
para esto es necesario determinar el punto de inicio y el de llegada, a nuestrocriterio será 𝑃1 (2,3)
y 𝑃2 (−1,4) lo que significa que 𝑥1 = 2, 𝑦1 = 3, 𝑥2 = −1, 𝑦2 = 4; con las cosas definidas de esta
𝑦 −𝑦

4−3

1

1

manera tenemos que la pendiente de la recta es: 𝑚 = 𝑥2−𝑥1 = −1−2 = −3 = − 3
2

1

2

Ahora tenemos los requisitos para establecer la ecuación de la recta que es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
1

𝑦 − 3 = − 3 (𝑥 − 2) haciendo un poco de algebra se tiene la ecuacióncanónica de la recta 𝑦 =
𝑚𝑥 + 𝑏
1
2
𝑦−3=− 𝑥+
3
3
1
2
𝑦 =− 𝑥+ +3
3
3
1
10
𝑦=− 𝑥+
3
3
Consulta:
1. ¿Si tenemos una recta horizontal cuál es el valor establecido para su pendiente?
2. ¿Si tenemos una recta vertical cuál es el valor establecido para su pendiente?
Aplicación: un fabricante descubre que el costo de producir 𝑥 artículos está dado por:
𝐶(𝑥) = 0,001𝑥 3 + 0,3𝑥 2 + 40𝑥 + 1.000. Determine el...