PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
La inducción matemática es un método de demostración que se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones. Enmatemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable n, que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consisteen el siguiente razonamiento:
El número entero a, tiene la propiedad P,. El hecho de que cualquier número entero n, también tenga la propiedad P, implica que n+1, también la tiene. Entonces todos losnúmeros enteros a partir de a, tienen la propiedad P,.
La demostración está basada en el axioma denominado principio de la inducción matemática.
Principio de inducción matemática
Consideremos unalista de proposiciones p(1), p(2), p(3), ... con índices en los enteros positivos +. Todas las proposiciones p(n) son verdaderas a condición que:
(B) p(1) sea verdadera.
(I) p(n + 1) es verdadera siempreque p(n) lo sea.
nos referimos a (B), es decir al hecho de p(1) es verdadera, como la base de la inducción y nos referimos a (I) como el paso inductivo. En la notación del calculo proposicional (I)equivale decir que:
La implicación p(n) p(n + 1) es verdadera  n  +.
Ejemplo:
Demostrar  (3k - 2) = 1/2(3n² - n)  n  +.
Demostración: La n-ésima proposición p(n) es verdadera, esto es
 (3k - 2) =1/2(3n² - n)
Notese que:
p(1) = 1 = 1/2[3(1)² - 1)] de aqui que 1 = 1
p(2) = 1 + 4 = 1/2[3(2)² - 2)] de aqui que 5 = 5
p(3) = 1 + 4 + 7 = 1/2[3(3)² - 3)] de aqui que 12 = 12
.
.
.
En particular, p(1) esverdadera por inspección y esto establece la base de la inducción. Ahora supongase que p(n) es verdadera para algún n, esto es:
 (3k - 2) = 1/2(3n² - n)
necesitamos demostrar que p(n + 1)
 (3k - 2) =1/2[3(n + 1)² - (n + 1)]
tal como lo establece el paso inductivo.
Utilizando p(n) tenemos que
 (3k - 2) =  (3k - 2) + [3(k + 1) - 2]= 1/2(3k² - k) + (3k + 1)
para verificar p(n + 1) necesitamos...