Pro 0006 Matrices
Definiciones básicas de matrices
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
MathCon c 2007-2008
Contenido
1. Matrices
1.1. Matrices cuadradas
1.2. Matriz transpuesta .
1.3. Matriz identidad . .
1.4. Matriz diagonal . .
1.5. Matriz triángular .
1.6. Matrices binarias .
.
.
.
.
.
.
2
3
4
4
5
5
6
2. Operaciones entre matrices
2.1. Suma entre matrices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
3. Matriz inversa
3.1. Obtención de matriz inversa por medio de Operaciones Elementales . . . . . . . . . . .
12
12
4. Sistemas deEcuaciones Lineales y Matrices
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Matrices
Definición 1 Una matriz real es una función A de [1, .., n] × [1, .., m], al conjunto de los números
reales R, y decimos que A tiene orden n × m
Una matriz A se representa con todos sus valores
columnas:
a11 a12
a21 a22
A= .
..
..
.
an1
an2
de manera usual como un arreglo den filas y m
···
···
..
.
a1m
a2m
..
.
···
anm
También la podemos representar como A = (aij ), donde 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Ejemplos de matrices:
1. Ejemplo de una matriz 2 × 2: A =
a11
a21
a12
a22
Como función la matriz anterior se escribe A : [1, .., n] × [1, .., m] → R, donde:
(1, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
→
→
→
→
a11
a12
a21
a22
1
1.1. Matrices cuadradas
3
a11
2.Ejemplo de una matriz 3 × 3: A = a21
a31
a13
a23
a33
a12
a22
a32
Como función se escribe A : [1, .., 3] × [1, .., 3], donde:
(11)
(12)
(13)
(21)
(22)
(23)
(31)
(32)
(33)
a11
3. Ejemplo de una matriz 3 × 2: A = a21
a31
4. Ejemplo de una matriz 2 × 3: A =
5. Ejemplo de una matriz 1 × 3: A =
→
→
→
→
→
→
→
→
→
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a12
a22
a32
a11
a21
a12
a22
a13a23
a11
a12
a13
a11
6. Ejemplo de una matriz 3 × 1: A = a21
a31
1.1. Matrices cuadradas
Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Éste conjunto de matrices suele escribirse como Mn . Las matrices cuadradas tienen propiedades particulares.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
1.2. Matriz transpuesta
4
1.2. Matriz transpuestaDada una matriz A se define la matriz transpuesta AT (la transpuesta),como aquella que cambia las
filas por columnas, o las columnas por filas, es decir:
Si A = (aij ), entonces AT = (aji )
Para una matriz en M3 :
a11 a12 a13
a11
Si A = a21 a22 a23 , entonces AT = a12
a31 a32 a33
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Ejemplo:
2
Si A = 1
−1
3
−2
0
1
2
7 , entonces AT = 3
1
51
−2
7
−1
0
5
Propiedades de la matriz transpuesta:
1. (AT )T = A, la transpuesta de una transpuesta es igual a la matriz.
2. (A + B)T = AT + B T , la transpuesta de una suma, es la suma de las transpuestas.
3. (AB)T = B T AT , la transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas conmutado.
4. (rA)T = rAT , la transpuesta de un producto escalar es el producto escalar de latranspuesta.
5. Si A = AT , la matriz se llama simétrica.
6. Si AT = −A, la matriz se llama antisimétrica.
1.3. Matriz identidad
En Mn existe la matriz identidad, que consiste en una matriz con unos en la diagonal (es decir donde
i = j) y ceros en otro lugar (o sea donde i = j).
Por ejemplo en M3 ,
1.4. Matriz diagonal
5
1
I3 = 0
0
0
1
0
0
0
1
Formalmente In = (aij ) =
0 si i = j
1...
Regístrate para leer el documento completo.