Probabilida

Altube y Vitoria son dos estaciones metereológicas. Representaremos por A y V el que llueva respectivamente en Altube y Vitoria durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio; se observa que P(A) = P(V) = 0, 40 y que P(A[pic]V) = 0, 28. Determínense las dos probabilidades condicionales P(A/V) y P(V/A), así como la probabilidad total P(A[pic]V). ¿Son independientes A y V?

RESPUESTA1.

Para obtener las probabilidades condicionadas aplicamos la expresión
P(A[pic]B) = P(A) • P(B/A) = P(B) • P(A/B )
que en nuestro caso será

[pic]

Para obtener la probabilidad total consideramos
P(A[pic]B) = P(A) + P(B) – P(A[pic]B)
con lo que resultará
P(A[pic]V) = P(A) + P(V) – P(A[pic]V)= 0, 40 + 0, 40 - 0, 28 = 0, 52
Se dice que dos sucesos son independientes si su probabilidadcompuesta es igual al producto de sus probabilidades incondicionales respectivas. La definición formal de independencia de dos sucesos es que se cumpla
P(B/A) = P(B) ; P(A/B) = P(A)
Por consiguiente, teniendo en cuenta que la ley general de probabilidad compuesta se expresa :
P(A[pic]B[pic]C[pic]•••[pic]M[pic]N) =
P(A)•P(B/A)•P(C/A[pic]B) ••• P(N/A[pic]B[pic]C[pic]•••[pic]M)
podemos ver queen el caso de sucesos independientes la probabilidad compuesta toma la forma simétrica
P(A[pic]B) = P(A)•P(B).
En nuestro caso resulta fácil comprobar que los dos sucesos no son independientes ya que se tiene :
P(A/V) [pic]P(A) ; P(V/A)[pic] P(V) [pic]P(A[pic]V)[pic]P(A)•P(V)
Dados P(A) = a , P(B) = b y P(A[pic]B) = a.b, demuéstrese que

[pic]

se factorizan en la forma indicada por ladefinición general de independencia, es decir como producto de las probabilidades de los componentes de la combinación.

RESPUESTA 2.

Uno de los axiomas básicos de la teoría de la probabilidad enuncia : La probabilidad P(E) de un suceso E es un número real comprendido entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0 y la de un suceso seguro, l ; en general si para dossucesos se tiene P(E1) + P(E2) = 1 , decimos que E1 y E2 son sucesos complementarios uno del otro. También se dice que E1 y E2 son mutuamente excluyentes.
Considerando lo dicho en el párrafo anterior, tenemos :

[pic]

Pero el suceso A solo puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes : en conjunción con B o en conjunción con el complementario de B. Por tanto, tendremos según el teorema quenos da la probabilidad total para sucesos mutuamente excluyentes, y cuyo enunciado es :

Si A , B, ••• , N son sucesos mutuamente excluyentes, entonces :

P(A[pic]B[pic]•••[pic]N) = P(A) + P(B) + ••• + P(N)

y de esta expresión podemos deducir (siendo S el Suceso seguro) :

[pic]

de donde, por sustitución :

[pic]

y análogamente :

[pic]

Finalmente, como los cuatro pares desucesos [pic]son exhaustivos su probabilidad total es la unidad, y como son mutuamente excluyentes, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo :

[pic]

y sustituyendo los valores conocidos

[pic]

Este último resultado se puede obtener siguiendo el mismo proceso que en los dos primeros, es decir:

[pic]

El requisito de la factorización se satisface, por tanto, en todos los casos.Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores sólo funciona cuando todos ellos están cerrados. En sentido probabilístico, los interruptores son independientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para cada uno de ellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. Calcúlese la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas las causas quepueden hacer que el mecanismo no funcione, excepto los propios interruptores.

RESPUESTA 3.

Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y por [pic]el suceso complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos el axioma enunciado en el prob1ema anterior (propiedad 1) y tenemos :

[pic]

Llamando S1 al suceso de que el interruptor 1 esté cerrado y [pic]al suceso...