Probabilidad condicional

Probabilidad Condicional

En ocasiones se necesita obtener la probabilidad de un evento A y se sabe que ocurrió otro evento B. La pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de A si ya ha ocurridoB?

Por ejemplo, considere los siguientes eventos:

A: mañana usaras bufanda
B: Mañana será un día muy frío
¿Cuál es la probabilidad que mañana uses bufanda?

Si mañana será undía frío. ¿Cuál es la probabilidad que uses bufanda?

Son dos preguntas en las cuales intuitivamente la respuesta de la segunda debería ser mayor que la de la primera.

La probabilidad de queun evento A ocurra dado que un evento B ha ocurrido se llamará probabilidad condicional de A dado B.

• Definición

Sean A y B eventos. La probabilidad condicional de A dado B, se anotaP(A/B), es:
[pic] [pic]

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• Teorema

Si B es un evento fijo con P(B)[pic]0 entonces la función probabilidad condicionada
[pic] ( /B ): [pic] [pic] [0,1] es una medida deprobabilidad , donde P(A/B) = [pic] para todo evento A.

Demostración
• [pic]([pic]/B) = [pic] = [pic] = 1
• Si (An)n[pic]N es una sucesión de eventos disjuntos entonces
[pic]= [pic] =[pic]
= [pic] ya que P es probabilidad
= [pic]
= [pic]

• Teorema: Formula de Probabilidad Total

Sean A, B1,...,Bn eventosno despreciables. Si B1,...,Bn son disjuntos y A [pic][pic] entonces
P(A) = [pic](A/Bk)P(Bk)

Demostración
A = A[pic] = [pic].
Como la unión es disjunta se tiene queP(A) = [pic].
Así
P(A) = [pic]
= [pic](A/Bk)P(Bk).

• Teorema de Bayes

Sean A, B1,...,Bn eventos no despreciables. Si B1,...,Bn son disjuntosy [pic]= [pic] entonces
P(Bi/A) = [pic].

Demostración:
P(Bi/A) = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic] por el teorema de probabilidad total l

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