probabilidad condicional

PROBABILIDAD CONDICIONAL

 
En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.
Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a. La primera semilla searoja?
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: 
b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a unacondición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por 
, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.
Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.
Veamos la situación en un diagrama de árbol:

Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espaciomuestra S, tales que P(A) > 0 con P(A)  0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por .
 
Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de que por lo menoshay un águila en los tres lanzamientos es:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo tanto, A B ={aaa} y 
De donde 
Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éstefuera un nuevo espacio muestra S* = A.
 
Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,


Como los eventos (B A) y (B AC) son mutuamente exclusivos y su unión es B, entonces por el axioma 3, tenemos:  [3.3]
Despejando P(A B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(A B) = P(A) P(B/A) y P(AC B) = P(AC) P(B/AC)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(AC) P (B/AC).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(A B) y P(AC) P(B/AC) = P(AC B)
 
Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar laprobabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC) = 8/12 porque en lacaja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:

Definiciones de Probabilidad cont.
Definición clásica de probabilidad o de Laplace
Se ha considerado a la probabilidad de ocurrencia de un resultado determinado de un
Experimento aleatorio, como la proporción de veces (frecuencia relativa) que se obtiene
Dicho resultado después de una gran cantidad derepeticiones.
Sin embargo, considerando la experiencia aleatoria de arrojar una moneda, se podría
Haber conjeturado sin repetir dicha experiencia, que la probabilidad de obtener el
resultado “cara” es 0.5.
Esto se sustenta en que si la moneda no está cargada, cada resultado tiene la misma
Chance de ocurrir. Esta descripción permite introducir lo que se conoce como definición
Clásica de...