Probabilidad Condicional

1) Probabilidad Condicional:
 Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe PExc(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden notener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara| 6).
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Definición:
Dado un espacio de probabilidad (Ω,F,P) y dos eventos (o sucesos) A,B∈F con P(B)>0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:
P(A∣B)=P(A∩B)P(B).
Interpretación:
P(A∣B) se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumpleA. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, P(A∣B) sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de laintersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza P(A∩B). En este caso P(A∣B), es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe,
sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa P(A∩B) y el área de Brepresenta a P(B), formalmente se tiene que:
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)

Propiedades:
P(A∣B)+P(A¯∣B)=1
B⊆A→P(A∣B)=1
Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.
P(A)=P(A∣B)⋅P(B)+P(A∣B¯)⋅P(B¯)
Independencia de sucesos:
Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:
P(A∩B) = P(A)P(B).
O seaque si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, P(A∩B) ó P(A,B).
Puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B).
En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.
Exclusividad Mutua:
Dos sucesos A y B son mutuamenteexcluyentes si y sólo si A∩B=∅. Entonces, P(A∩B)=0.
Además, si P(B)>0 entonces P(A∣B) es igual a 0.


La Falacia De la Probabilidad condicional:

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre a numérico este error muy común cometido por personas quedesconocen la probabilidad.
La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:
P(B∣A)=P(A∣B)⋅P(B)P(A) (Teorema de Bayes)
2) Teorema de Bayes
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional delevento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe...