Probabilidad Conjunta

Combinatoria y definiciones básicas
de probabilidad

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Definiciones de probabilidad
•

Probabilidad como intuición

• Probabilidad como la razón de resultados favorables
• Probabilidad como medida de la frecuencia de ocurrencia
• Definición axiomática de la probabilidad

Introducción a la Probabilidad

FranciscoRodríguez Henríquez

Probabilidad como intuición

En este modelo, la probabilidad intenta predecir eventos con
base en la intuición. Por ejemplo, “mañana lloverá” o “él
está manejando muy rápido”.

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Probabilidad como la razón de
resultados favorables
En esta línea de razonamiento, la cual es no experimental, la
probabilidadde un evento puede ser calculada a priori a
través del cálculo del número de maneras en que un
determinado evento E puede ocurrir seguido por el cálculo de
la razón NE/N, donde N representa el conjunto de todos los
resultados posibles. Este modelo supone que todos los
resultados son igualmente probables.
Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

P r o b a b ilid a dc o m o m e d id a d e la f r e c u e n c ia
d e o c u r r e n c ia
Sea E una colección de resultados que poseen un cierto
atributo. Suponga que un experimento o juego es repetido N
veces y que NE representa el número de veces que el
resultado E fue obtenido. La razón

nE
P( A) = lim
n "! n

para N suficientemente grande se define como la
probabilidad de A.
Introducción a laProbabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Definición axiomática de la
probabilidad
La probabilidad P[·] asigna a cada evento E en el universo de
posibilidades Ω un número P[E], llamado la probabilidad
de E, tal que:
1.

P [E] ≥ 0

2.

P [ Ω] = 1

3.

P [ E ∪ F ] = P [ E ] + P [ F ] si E F = φ .

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Definiciónaxiomática de la
probabilidad
Los tres axiomas básicos de la probabilidad son suficientes
para establecer toda una serie de definiciones básicas. En
particular:
4.

P [φ ] = 0

5.

P[ E ] = 1 - P[ E C ]

6.

P[EFC] = P[E] - P[EF]

7.

P[E∪ F] = P[E] +P[F] - P[EF]

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Definición axiomática de
la probabilidad
El últimoresultado de la lámina anterior nos permite escribir
la cota superior del operador unión ∪ como sigue:

'n $ n
P %U Ei " = ( P[Ei ] si Ei E j = !
& i =1 # i =1
Por lo que,

(n % n
P &U Ei # " ! P[Ei ]
' i =1 $ i =1
Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Probabilidad conjunta
Suponga que se realizan experimentos del estado del tiempo
en la ciudad de México.En particular estamos interesados
en tres eventos A, B, C, tales que:
•

A es el evento en que en un cierto día la temperatura
ambiente estuvo por encima de los 15°C;

•

B es el evento en que en un determinado día haya caído
una precipitación pluvial superior a los 8 milímetros y;

•

C es el evento en que en un determinado día tanto A como
B hayan acontecido.
Introducción a laProbabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Probabilidad conjunta
Puesto que C es un evento, P[C] es su probabilidad de
ocurrencia de acuerdo a las definiciones axiomáticas
dadas anteriormente. Pero P[C] = P[AB]. Por lo que
definimos el número P[AB] como la probabilidad conjunta
de los eventos A y B.
Claramente, la probabilidad conjunta puede ser extendida a
más de dos eventos, porejemplo, P[EFG] es la
probabilidad

conjunta

que

E,

F,

y

G

ocurran

simultáneamente.
Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Probabilidad conjunta
Suponga ahora que ni denota el número de días (veces) que el
evento i ha ocurrido. Entonces, a través de un período de 1000
días (n = 1000) se hicieron las siguientes observaciones: nA =
811, nB =...