Probabilidad Y Estadistica

FACULTAD DE INGENIERÍA UNAM

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Irene Patricia Valdez y Alfaro

irenev@servidor.unam.mx

T E M A S DEL CURSO

1. Análisis Estadístico de datos muestrales. 2. Fundamentos de la Teoría de la probabilidad. 3. Variables aleatorias. 4. Modelos probabilísticos comunes. 5. Variables l t i 5 V i bl aleatorias conjuntas. j t 6. 6 Distribuciones muestrales muestrales.4. 4

CONTENIDO TEMA 4 Variables aleatorias aleatorias.
Objetivo: El alumno conocerá algunas de las distribuciones más utilizadas en la práctica de la ingeniería y seleccionará la más adecuada para analizar algún fenómeno aleatorio en particular.
4.1 Ensayo de Bernoulli y Distribución de Bernoulli. 4.2 Distribucion Binomial, Geométrica, Pascal e Hipergeométrica. p g 4.3 Proceso de Poisson yDistribución de Poisson. 4.4 Distribución uniforme continua. 4.4 Distribuciones normal y normal estándar. 4.5 4 5 Generación de números aleatorios aleatorios.

MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

ENSAYO DE BERNOULLI
Consiste en realizar un sólo experimento ( C i t li ól i t (ensayo) en el ) l cual existen únicamente dos posibles resultados: S = { éxito,fracaso } j p Por ejemplo: observar un artículo y ver si es defectuoso Definimos a la variable aleatoria de Bernoulli de la siguiente forma: 0; I= 1;
Si el resultado del ensayo es “fracaso”. fracaso Si el resultado del ensayo es “éxito”.

A ésta última se le conoce como “función indicadora”

DISTRIBUCIÓN DE BERNULLI (1/3)
Supongamos que en un ensayo de Bernoulli la probabilidad de obteneréxito es p. Como el ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, entonces la probabilidad de obtener un fracaso es 1-p. llamaremos q a la probabilidad de fracaso.
p = Probabilidad de éxito q = (1-p) = Probabilidad de fracaso

Con esto, la distribución de probabilidad de la variable p aleatoria de Bernoulli es:

P( I ) =

q; p; 0;

I=0 I=1 c.o.c

DISTRIBUCIÓN DE BERNULLI (2/3)
P( I )= q; p; 0;
I=0 I=1 c.o.c

La media o valor esperado de la variable aleatoria de p Bernoulli es:

E[ I ] = 0q + 1 p = p
V [ I ] = E[ I 2 ] − E[ I ]2

μI = p

La varianza de la variable aleatoria de Bernoulli es:

V [ I ] = (0 2 q + 12 p ) − p = p 2 − p = p (1 − p ) = pq

σ I2 = pq

DISTRIBUCIÓN DE BERNULLI (3/3)
Si llamamos X en l ll X, lugar d I a l V i bl aleatoria d de I, laVariable l t i de Bernoulli, su distribución de probabilidad queda: q; p; 0;
x=0 x=1 c.o.c

P( x ) = La cual también se puede abreviar de la forma:

⎧ p x q1− x ; x = 0, 1 P ( x) = ⎨ (x c. o. c. ⎩ 0

Esta es la forma más usual de representar a la distribución de Bernoulli

μX = p

2 σ X = pq

ENSAYO BINOMIAL
Consiste en realizar n veces el ensayo de bernoulli de bernoulli, maneraindependiente uno de otro y suponiendo que la probabilidad de éxito p permanence constante en cada uno de ellos. Por ejemplo: observar cinco artículos de un mismo lote y contar el número de artículos con defecto defecto. Definimos a la variable aleatoria de Binomial de la siguiente forma:
X = I1 + I 2 + ...I n = ∑ I j
j =1 n

donde las Ij son variables aleatorias de Bernoulli independientes,independientes cada una con media p y varianza pq pq.

Así definida X representa entonces el número de éxitos definida, obtenidos al realizar n veces el ensayo de Bernoulli.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (1/3)
Al realizar el ensayo bi li l binomial, l variable aleatoria puede i l la i bl l t i d adquirir los valores: X={0,1,2,...,n}
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli y la probabilidadde éxito es p, la distribución de X para n =2, 3 ó 4 es:

Se observa que el término genérico es pxqn-x repetido un determinado número de veces ¿cuántas?

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (2/3)
Supongamos que se obtienen consecutivamente primero los X éxitos y luego los n x n-x fracasos:

A={ e, e, e, e,....e, f, f, f, f,..., f }
x éxitos n-x fracasos

P(A)=pxqn-x P(A) p
Para encontrar el...