Probabilidad Y Estadistica

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o Facultad de Ciencias Econ´micas y Administrativas o Segundo Semestre 2011
Curso Sigla Pauta Profesores : : : : Probabilidad y Estad´ ıstica EAS200A Examen ´ Rafael Aguila (Sec 01) y Ricardo Olea (Sec 02)

Pregunta 1 El sector minero chileno, labora durante los siete d´ de la semana sin paralizar las faenas, en dicha actividad, ıas los accidenteslaborales ocurridos sigue un proceso de Poisson, para el cual se sabe que la probabilidad de que ocurra mas de un accidente en una determinada semana es igual a 59,3994 %. (a) [1.0 Ptos] ¿Cu´l es la tasa de accidentes por semana? a (b) [1.0 Ptos] ¿Cu´l es el n´mero mas probable de accidentes ocurridos en una semana? ¿Cu´l es dicha a u a probabilidad? (c) [1.0 Ptos] ¿Cu´l es la probabilidad de que en und´ cualesquiera no ocurran accidentes? a ıa (d) [1.0 Ptos] ¿Cu´l es la probabilidad de el tiempo entre un accidente y el siguiente este comprendido a entre 3 y 5 d´ ıas? (e) [1.0 Ptos] Sabiendo que el tiempo entre un accidente y el siguiente ya super´ los 5 d´ ¿Cu´l es la o ıas a probabilidad que dicho tiempo supere los 7 d´ ıas? (f) [1.0 Ptos] ¿Cu´l es la probabilidad que entre el segundo y elquinto accidente supere los 14 d´ a ıas? Soluci´n o (a) Definamos como X a la variable aleatoria que indica el n´mero de accidentes en una semana. u Del enunciado tenemos que P (X > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − FX (1) = 0,593994 ⇒ FX (1) = 0,406006 [0.5 Ptos]

A partir de la Tabla Poisson, vemos que la tasa de accidentes por semana λ es igual a 2. [0.5 Ptos] (b) El n´mero m´s probable puede ser uno odos, ya que ambos valores presentan la probabilidad m´s u a a alta. x P (X = x) 0 0,135335 1 0,270671 2 0,270671 3 0,180447 4 0,090224 5 0,036089 [1.0 Ptos] (c) Definamos como Y al n´mero de accidentes diarios, entonces u Y ∼ Poisson(2/7) [0.5 Ptos] Por lo tanto, P (Y = 0) = e−2/7 = 0,7514773 1 [0.5 Ptos]

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(d) definamos como T altiempo (en d´ ıas) transcurrido entre dos accidentes, es decir, T ∼ Exponencial(2/7) [0.5 Ptos] se pide P (3 ≤ T ≤ 5) = FT (5)−FT (3) = 1 − e−5·2/7 − 1 − e−3·2/7 = 0,760349−0,5756272 = 0,1847218 (e) Se pide P (T > 7 | T > 5) = P (T > 2), = 1 − FT (2) por carencia de memoria [0.5 Ptos] [0.2 Ptos] [0.5 Ptos]

= 1 − (1 − e2·2/7 ) [0.1 Ptos] = 1 − (1 − 0,4352819) [0.1 Ptos] = 0,4352819 [0.1 Ptos](f) Definamos como Z al tiempo (en d´ ıas) transcurrido entre el segundo y el quinto accidente. Es decir, Z ∼ Gamma(3, 2/7) [0.5 Ptos] Se pide P (Z > 14) = 1 − FZ (14) [0.1 Ptos] =1− 1− = (14 · 2/7)x e−14·2/7 , x! x=0
3−1

por relaci´n Poisson-Gamma [0.1 Ptos] o

40 e−4 41 e−4 42 e−4 + + 0! 1! 2! = 0,2381033 [0.1 Ptos]

[0.2 Ptos]

+ 1 Punto Base

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Problema 2 Consideremos el valor de una acci´n de una empresa que se transa en la Bolsa de Santiago en un instante t. o Se define el retorno de la acci´n en el instante t como la ganancia (o perdida) porcentual al invertir en t − 1 o y vender en t, es decir, Pt − Pt−1 Xt = , Pt−1 con Pt el valor de la acci´n en t. Este retorno se comporta como una variable aleatoriacuya distribuci´n de o o probabilidad es Normal de media cero con una varianza que depende de la variabilidad, Yt−1 , del mercado en el d´ anterior. Un investigador propone que los retornos de esta acci´n pueden ser representados como ıa o sigue: Xt | Yt−1 = y ∼ Normal(0, 1/y), Yt−1 ∼ Gamma(k, ν) (a) [2.0 Ptos] Muestre que νk 1 Γ(k + 1/2) , fXt (x) = √ 2 k+1/2 Γ(k) 2π ν+x 2 x∈R

(b) [2.0 Ptos]Muestre que la distribuci´n de Yt−1 condicionada a que Xt = x es Gamma (identifique los o par´metros en t´rminos de k, ν y x). a e √ (c) [2.0 Ptos] Si k = 3/2 y ν = 1, calcule P (Y ≤ 1/2 | X = 2). Soluci´n o (a) Tenemos que
∞

fXt (x) =
−∞ ∞

fXt , Yt−1 (x, y) dy

[0.3 Ptos] [0.3 Ptos] ν k k−1 y exp(−ν y) dy Γ(k) x2 2 dy [0.3 Ptos]

=
−∞ ∞

fXt | Yt−1 =y (x) · fYt−1 (y) dy 1 2π
1 y...