PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Media geométrica “G”
• Promediar porcentajes.
• Determina incremento porcentual promedio
de un periodo a otro(producción y ventas).
Los valores extremos tienen menor influencia que
en la media aritmética.
 Su calculo es mas complicado que la media
aritmética.
 Si existe xi = 0 entonces G se anula.


Se divide en:

Simple
G = 𝑛 𝑥1 ∗ 𝑥2 ∗ 𝑥3 ∗ ⋯ ∗ 𝑥𝑛

Ponderada
𝑛𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

G = 𝑌1 1 ∗ 𝑌2 2 ∗ 𝑌3 3 ∗ ⋯ ∗ 𝑌𝑚𝑚

Ejemplo de geométrica simple
La producción anual de aisladores sísmicos de una fabrica a obtenido
el siguiente crecimiento:
2009 a 2010 la producción aumento de 800 a 1000 (25%)
2010 a 201l la producción aumento de 1000 a 1500 (50%)
2011 a 2012 la producción aumento de 1500 a 3300 (120%)
Cada año el aumento fue de 25, 50 y 120%
¿Cuál fue el aumentopromedio anual de la producción?
140
120
100
80
Porcentaje
60

Series1

40

20
0
800-1000

1000-1500
Producción

1500-3300

x=

25+50+120
3

x = 65
Se supondría que anualmente la producción se
incrementa en 65%.
Por los incrementos se observa que la producción
no es lineal, entonces es recomendable hallar el
promedio geométrico.
3

G = 25 ∗ 50 ∗ 120

G = 53,1%
Expresa que la producción tiene unincremento
anual promedio del 53%, valor que es mas correcto
que la simple media.

Ejemplo de geométrica ponderada
Considerar un conjunto de datos distribuidos con la
siguiente tabla de frecuencia:
𝒀𝒊

𝒏𝒊

15

5

25

19

35

24

45

13

55

4

m=5

65

G=

65

Geometrica Ponderada
30
25

20
Yi 15
n_i

10
5
0

0

10

20

30

40

50

ni

155 ∗ 2519 ∗ 3524 ∗ 4513 ∗ 554
G = 32,13

60

Media armónica “H”
Esel inverso de la media aritmética de la inversa
de los valores considerados.
- Simple
- Ponderada

Armónica simple

H=

𝑛
1
1
1
1
+ + +⋯+
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑥𝑛

Se aplica cuando se presenta una relación
de variables implícitas, como por ejemplo
productividad y tiempo.

Ejemplo de armónica simple
Tenemos un fluido turbulento en un canal el cual presenta los
siguientes gastos a lo largo de la tubería.
Enlos primeros 5 cm de tiene un gasto de 120 l/s.
Los siguientes 12 cm presenta un gasto de 180 l/s.
Los últimos 20 cm un gasto de 280 l/s.
Para calcular el promedio de los gastos calculamos la media
armónica.
H=

3
1
1
1
+ +
120 180 280

H = 171,82 l/s,

Armónica ponderada

H = 𝑓1

𝑛
𝑓
𝑓
𝑓
+ 2 + 3 +⋯+ 𝑛

𝑥 1 𝑥2 𝑥 3

𝑥𝑛

Se utiliza para datos agrupados sin y con
intervalos.

Ejemplo Armónicoponderado sin intervalos
En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en horas
que se demoran en realizar una obra determinados obreros, calcular
el tiempo promedio que se demora en realizar la obra una obrero tipo
(obrero promedio).
Armonica ponderada

Tiempo

obreros

8
7

4

4

5

5

6

7

7

2

9

2

6
5
Obreeros 4
3

obreros

2
1
0

H=4

20

0

2

5 7 2 2

+ + + +
4 5 6 7 9

H =5,44 horas

4

6
Tiempo

8

10

Ejemplo Armónico ponderado con intervalos
En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en
minutos que se demora para resolver una prueba de estadística
determinados estudiantes, calcular el tiempo promedio que se
demora en resolver la prueba un estudiante tipo.

Tiempo

Estudiantes

40 – 50

4

50 – 60

8

60 – 70

10

70 – 80

7

80 – 90

11

Armonicaponderada con intervalos
12
10
8
Estudiantes 6

Estudiantes

4
2
0
40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90
Tiempo

Completando la tabla:
𝒇𝒊

Tiempo

𝒙𝒊

𝒇𝒊 /𝒙𝒊

40 – 50

4

45

0,089

50 – 60

8

55

0,145

60 – 70

10

65

0,154

70 – 80

7

75

0,093

80 – 90

11

85

0,129

40

0,611

H = 𝑓1

𝑛
𝑓
𝑓
𝑓
+ 2 + 3 +⋯+ 𝑛

𝑥1 𝑥2 𝑥3

H=

40
0,611

H = 65,47

𝑥𝑛

La moda Mo
Es aquel valor nominal quetiene la frecuencia
mayor (datos cuantitativos y cualitativos), por lo
tanto en una distribución de frecuencias pude
tener mas de una moda o inclusive no tener moda
cuando todos los datos tienen frecuencia 1.
- Distribución unimodal, una moda. Ej. 3,2,5,1,4,2.
- Distribución bimodal, dos modas. Ej.
2,3,4,4,3,1,0.
- Distribución multimodal, mas de dos modas. Ej.
2,3,4,4,3,1,0,3,2,5,1,4,2....