Probabilidad Y Teorema De Bayes

Estad´
ıstica

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Tema 3: Probabilidad. Teorema de Bayes.
1

Definiciones b´sicas.
a

En Estad´
ıstica se utiliza la palabra experimento para designar todo acto que proporciona unos
datos.
Se van a distinguir dos tipos de experimentos: deterministas y aleatorios. Los primeros se
producen en aquellas situaciones, en las que la realizaci´n sucesiva de un experimento en las mismas
ocondiciones, produce el mismo resultado (durante siglos la ciencia se ha ocupado de fen´menos
o
que daban origen a situaciones deterministas, por ejemplo es un fen´meno determinista la caida
o
libre de los cuerpos). Los segundos son aquellas situaciones en las que la realizaci´n sucesiva de
o
un experimento en las mismas condiciones produce resultados distintos (son fen´menos aleatorios:
orendimiento de una semilla, duraci´n de la vida de una componente, consumo mensual de energ´
o
ıa
en una casa, resultado de lanzar una moneda, etc.) En los experimentos deterministas las mismas
causas producen los mismos efectos, mientras que en los experimentos aleatorios las mismas causas
producen distintos efectos.
Esta distinci´n lleva a destacar que los resultados de un experimentodeterminista, se pueden
o
predecir, no as´ los de un experimento aleatorio. Al realizar un experimento aleatorio llevamos a
ı
cabo una operaci´n, al final de la cual obtenemos un resultado, cuyo valor es, “a priori”, impredecible,
o
pero pertenece a un conjunto que se puede describir completamente antes de realizar el experimento.
Definici´n 1 Llamaremos espacio muestral asociado a unexperimento aleatorio al conjunto de todos
o
los posibles resultados del experimento. Lo representaremos por Ω, y a sus elementos, que se llamar´n
a
puntos muestrales, por ω .
Observaci´n 1 El espacio muestral puede ser finito o infinito:
o
• El espacio muestral para el experimento de tirar una moneda es finito; Ω = {cara, cruz}.
• El espacio muestral para el n´mero de aver´as de una m´quina en undeterminado intervalo de
u
ı
a
tiempo es te´ricamente infinito (puede tener ninguna, 1 2, 3, ... aver´as).
o
ı
• El espacio muestral para la medida del di´metro interior de un determinado tipo de rodamientos
a
es tambi´n infinito, aunque en este caso, los posibles valores son un intervalo de IR.
e
1. Diremos que el espacio muestral es discreto si los posibles resultados del exDefinici´n 2
operimento son una cantidad finita o numerable. (Los dos primeros ejemplos corresponden a
espacios muestrales discretos).
2. Se dice que el espacio muestral es continuo si el conjunto de posibles resultados es infinito, pero
no numerable. (El tercer ejemplo corresponde a un espacio muestral continuo).
Al asignar a un experimento aleatorio un espacio muestral estamos haciendo una simplificaci´n.o
Adem´s esta asignaci´n no es unica.
a
o
´
Definici´n 3 Llamaremos suceso a un subconjunto cualquiera del espacio muestral A ⊂ Ω.
o
Llamaremos suceso elemental a aquellos sucesos que s´lo contienen un punto muestral.
o
Se llama suceso compuesto, al que contiene m´s de un punto muestral.
a
Se llama suceso imposible a aquel que nunca ocurre, A = ∅.
Se llama suceso seguro a aquel queocurre siempre, A = Ω.

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Estad´
ıstica

Por ejemplo, salir par, impar, m´ltiplo de 3, etc. son sucesos compuestos correspondientes al
u
experimento aleatorio de tirar un dado. Salir 3 es un suceso elemental del mismo experimento.
Cuando se realiza un experimento, el resultado que se obtiene es un punto muestral, entonces,
diremos que ha ocurrido un suceso cualquiera, cuando ocurre unpunto muestral contenido en el
mismo. Es decir, diremos que ha ocurrido el suceso A, si el valor obtenido ω, verifica ω ∈ A. Lo
que estamos haciendo es, por tanto, trabajar con conjuntos, lo cual nos va a permitir usar todas las
relaciones existentes entre conjuntos, recordemos las m´s usuales:
a
Operaciones entre sucesos:
Complementario de un suceso Sea A un suceso, tal que A ⊂ Ω, llamaremos...