Probabilidad

Probabilidad
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condicionessuficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacarconclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades

Hay algunos resultados importantes del cálculo de probabilidades que son conocidos bajo los nombres de teorema de la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. Veamos cuales son estos teoremas, pero previamentevamos a enunciar a modo de recopilación, una serie de resultados elementales cuya demostración se deja como ejercicio para el lector (algunos ya han sido demostrados anteriormente):

4.12.0.1 Proposición

Sean [pic] no necesariamente disjuntos. Se verifican entonces las siguientes propiedades:

1.

Probabilidad de la unión de sucesos:

[pic] 

2.

Probabilidad de laintersección de sucesos:

[pic] 

3.

Probabilidad del suceso contrario:

[pic] 

4.

Probabilidad condicionada del suceso contrario:

[pic] 

4.12.0.2 Ejemplo

En una universidad el 50% de los alumnos habla inglés, el 20% francés y el 5% los dos idiomas ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?
Solución:Sea A el suceso hablar inglés: [pic].
Sea B el suceso hablar francés: [pic].
El suceso hablar francés e inglés es [pic]: [pic].
Así: 
[pic]

4.12.0.3 Ejemplo

En una estación de esquí, para navidad-es, la experiencia indica que hay un tiempo soleado sólo el [pic] de los días. Por otro lado, se ha calculado que cuando un día es soleado, hay una probabilidad del 20% de que el día posteriortambién lo sea. Calcular la probabilidad de que, en navidades, un fin de semana completo sea soleado.

Solución: Llamemos S al suceso sábado soleado y D al suceso domingo soleado. La única manera en que un fin de semana completo sea soleado es que lo sea en primer lugar el sábado, y que el domingo posterior también. Es decir:

[pic]

Luego sólo el [pic] de los fines de semana son soleados.
Elprimero de los teoremas que vamos a enunciar es una generalización de la probabilidad de la intersección de dos sucesos, a la de un número cualquiera pero finito de ellos:

4.12.0.4 Teorema (Probabilidad compuesta)

Sea [pic] una colección de sucesos aleatorios. Entonces:

[pic]

Demostración

[pic]

Los teoremas que restan nos dicen como calcular las probabilidades de sucesos cuandotenemos que el suceso seguro está descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos su probabilidad. Para ello necesitamos introducir un nuevo concepto: Se dice que la colección [pic] es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las relaciones (véase la figura 4.5):

  

|Figura: A1,A2,A3,A4 forman un sistema exhaustivo y excluyente |
|se sucesos.|
|[pic] |

[pic]

[pic]

4.12.0.5 Teorema (Probabilidad total)

Sea [pic] un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Entonces

[pic] 

Demostración

Obsérvese la Figura 4.6. De ahí realizamos las siguientes operaciones:

  

|Figura: Si A1,A2,A3,A4 forma un sistemaexhaustivo y excluyente|
|se sucesos, podemos calcular la probabilidad de B a partir de |
|las cantidades [pic], o lo que es lo mismo, [pic] |
|[pic] |

[pic]

4.12.0.6 Ejemplo

Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:

• Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2...