Probabilidad

Preparado por Irene Patricia Valdez y Alfaro Septiembre 2006

Tema 2.0 Conceptos previos

FACULTAD DE INGENIERÍA UNAM

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Irene Patricia Valdez y Alfaro

irenev@servidor.unam.mx

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
CONCEPTOS PREVIOS: REPASO DE CONJUNTOS

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Tema 2.0 Conceptos previosNOTACIONES DE CONJUNTOS Y DIAGRAMAS DE VENN

Conjunto universal: U Conjunto vacío: Ø Subconjunto: A ⊂ B Unión de conjuntos: A ∪ B Intersección de conjuntos: A ∩ B Complemento del conjunto A respecto de U: A o bien: A’

ALGUNAS LEYES DE CONJUNTOS

Para cualquier conjunto A: Ø ⊂ A Para un conjunto U, A ⊂ U si todos los elementos de A pertenecen a U A = B si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A Paracualquier conjunto A: A ⊂ A Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces: A ⊂ C

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Tema 2.0 Conceptos previos

ALGUNAS LEYES DE CONJUNTOS

Leyes de identidad:

A∪Ø=A A∩Ø=Ø

A∪U=U A∩U=A

Leyes de Morgan:

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ A ∪ ( B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ ( B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ ( B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ ( B ∪ C)= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Leyes asociativas:

Leyes distributivas:

PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano se define como: como: A X B = { (x,y) | x ∈ A , y ∈ B } Ejemplo: A = { x | x ≤ 3, x ∈ N } B = { y | y es una vocal } A X B = { (1,a), (1,e), (1,i), (1,o), (1,u) , (2,a), (2,e), (2,i), (2,o), (2,u), (3,a), (3,e), (3,i), (3,o), (3,u) } B X A = { (a,1), (a,2),(a,3), (e,1), (e,2), (e,3), (i,1), (i,2), (i,3), (o,1), (o,2), (o,3), (u,1), (u,2), (u,3), }

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Tema 2.0 Conceptos previos

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
CONCEPTOS PREVIOS: TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

1/2

Para un experimento que consta de k eventos sucesivos donde:
el primerevento puede resultar de m1 maneras distintas, el segundo evento puede resultar de m2 maneras distintas . . . El k-ésimo evento puede resultar de mk maneras distintas. k-

El número total de resultados para el experimento completo está dado por:

m1 • m2 • ... • mk

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Tema 2.0 Conceptos previos

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DELCONTEO
Ejemplo 1:

2/2

En un sorteo cada participante debe elegir en orden cuatro imágenes de imágenes entre 25. Durante el sorteo se descubren una por una cuatro imágenes imágenes imágenes (sin repetición) y ganan quienes acierten a las cuatro en el mismo orden en que salieron. ¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo?

No. de resultados = (25) (24) (23) (22) = 303,600 Ejemplo 2: Enun sorteo cada participante debe elegir cuatro números del 1 al 25. Durante el sorteo se seleccionan cuatro números con repetición y ganan quienes acierten a los cuatro números en el mismo orden en que salgan. salgan. ¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo? No. de resultados = (25) (25) (25) (25) = 254 = 390,625
Nótese que en este caso, si n es el número total de elementos diferentesdisponibles y r es el número de objetos que se seleccionarán con repetición, entonces el número entonces total de resultados posibles es: nr.

PERMUTACIONES
Permutaciones simples: Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las permutaciones son subconjuntos de r objetos, en donde una permutación es distinta de otra si difiere en al menos un elemento o en el orden de estos. Condición: r Para escoger el 1er. elemento hay n formas distintas. Para escoger el 2do. elemento hay (n-1) formas distintas. Para escoger el 3er. elemento hay (n-2) formas distintas. ... Para escoger el r-ésimo. elemento hay [ n - ( r-1 ) ] formas distintas, o bien, (n-r+1).

1/4

Por el principio fundamental del conteo, el número total de permutaciones es:

P(n,r) = n (n-1) (n-2) ......

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