Probabilidad

HOJA 2 DE PROBLEMAS: PROBABILIDAD

PROBLEMA 7

Durante la Segunda Guerra Mundial, el Almirante Dönitz, quiere conocer cómo será el comportamiento del nuevo tipo de submarino, U-Boot tipo VII. Para ello conocemos que el submarino tiene cinco tubos lanzatorpedos y que sólo puede transportar 14 torpedos en sus bodegas.
Sabiendo que la probabilidad media de que un torpedo alcance a un buque esdel 60%, (y que cada torpedo acertado hunde un buque) y que los torpedos se lanzan uno a uno tras comprobar el fallo del anteriormente lanzado, calcular:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un submarino tenga que volver a la base sin haber hundido ningún buque (habiendo gastado toda la munición)?

P (Acierto)= 0,6 P(Fallo)=1-0,6= 0,4

P (14 F)= ( F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9F10 F11 F12

F13 F14)= P(F)·P(F) P(F)·P(F) P(F)·P(F) P(F)·P(F) P(F)·P(F) P(F)·P(F)

P(F)·P(F)= (O,4)14= 0,00000268435456= 2,688·10-6

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el submarino en un ataque se quede sin munición (utilice los cinco torpedos contenidos en los tubos lanzatorpedos, ya que el tiempo de recarga hace que se anule el ataque)?

P (5 F)= ( F1 F2 F3 F4 F5)= P(F)·P(F)P(F)·P(F) P(F)= (O,4)5

= 0,01024

c) ¿Y de que habiendo gastado toda la munición en un ataque (los cinco torpedos), hunda un buque?

Posibles combinaciones para hundir un buque:
F= Fallo A= Acierto

F-F-F-F-A ->P (A) = 1/5
F-F-F-A-F -> P (A) = 1/5
F-F-A-F-F -> P (A) = 1/5
F-A-F-F-F -> P (A) = 1/5
A-F-F-F-F -> P (A) = 1/5

P (hundir un buque gastando todala munición)= 1/5 · 1/5·1/5 · 1/5 · 1/5 = 3,2·10-4

PROBLEMA 8

Un 30% de los mellizos humanos son idénticos y el resto son fraternales. Los mellizos idénticos son necesariamente del mismo sexo, la mitad varones y la mitad hembras. Un 25% de los mellizos fraternales son los dos varones, otro 25% son los dos hembras y el 50% restante son mixtos: un varón y una hembra.

a) Acabas de tenermellizos y te comunican que los dos son del mismo sexo. Dada esta información, ¿cuál es la probabilidad de que sean idénticos?

30% idénticos-> (50 % varones y 50% hembras)
70% fraternales-> (25 % varones, 25% hembras y 50% mixtos)
¿Probabilidad de que sean idénticos (I) y del mismo sexo (MS)?

P (I/ MS) = P( I MS) = 0,3 = 0,4615
P (MS) 0,65

P(IMS) = 0,3·0,5+ 0,3·0,5 = 0,3

P (MS)= 0,3·0,5+ 0,3·0,5 + 0,25·0,5 +0,25·0,5 = 0,65
b) Repetir el apartado anterior suponiendo que lo que te comunican es que los dos son mellizos y varones.

P (I/ V) = P( I V) = 0,15 = 0,4615
P (V) 0,325

P(I V) = 0,3·0,5= 0,15

P (V)= 0,3·0,5+0,7·0,5= 0,325

PROBLEMA 9

Una compañía de seguros de automóvil penaliza alos conductores jóvenes con una prima mayor con respecto a los conductores de mayor edad porque los conductores jóvenes, como grupo, tiende a tener más accidentes. La compañía establece 3 grupos de edad: el Grupo A incluye a los que tienen menos de 25 años de edad, el 22% de todos sus asegurados. El Grupo B incluye a los que tienen entre 25-39 años, el 43% de todos sus asegurados, mientras que elGrupo C incluye a los mayores de 40 años. Los registros de la compañía muestran que en cualquier período de un año, el 11% de los asegurados del Grupo A tienen un accidente. Los porcentajes de los grupos B y C son del 3% y 2%, respectivamente.

1. ¿Qué porcentaje de asegurados de la compañía se espera que tengan un accidente durante los próximos 12 meses?

Grupo A -> 22% asegurados -11% accidentes
Grupo B -> 43% asegurados - 3% accidentes
Grupo C -> 35% asegurados - 2% accidentes

P (Accidente)= 0,22· 0,11+ 0,43·0,03 + 0,35·0,02 = 0,0441 = 4,41%

2. Supongamos que el Sr. X acaba de tener un accidente. Si es uno de los asegurados de la Compañía, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 25 años?

P(A)= Probabilidad de pertenecer al grupo A
P(Ac)...