probabilidad

1. CONCEPTOS BÁSICOS


1.1 Conceptos básicos de la teoría de conjuntos.

El propósito de esta unidad, es el de presentar algunos de los conceptos básicos de la teoría de conjuntos que son necesarios para el estudio introductorio de la teoría de la probabilidad.

Conjuntos, elementos y notación básica

Un conjunto es una colección de objetos bien definida que tienen algo en común. Loselementos son los objetos comprendidos en un conjunto. Por ejemplo, si A es el conjunto de los números dígitos impares, entonces

A = {1, 3, 5, 7, 9}

y los números 1, 3, 5, 7, 9, son elementos del conjunto A. Como se observa, para identificar que un grupo de elementos forman un conjunto, estos se encierran entre corchetes.

Si un elemento ésta comprendido en un conjunto, diremos que elelemento pertenece al conjunto; de lo contrario, no pertenece. Para indicar pertenencia usamos el símbolo . Como las letras mayúsculas se utilizan generalmente para denotar conjuntos y las minúsculas para denotar elementos; entonces, si “a” es un elemento del conjunto A, escribimos aA como abreviatura de que “a pertenece al conjunto A”. Asimismo, escribimos aA para indicar que “a no pertenece alconjunto A”.

Los conjuntos pueden tener un número finito, infinito numerable o infinito no numerable de elementos. Se dice que el conjunto es finito si es posible enumerar los elementos del conjunto y luego contarlos hasta llegar a uno que ocupe el último lugar; por ejemplo, si A es el conjunto de los meses del año, A es un conjunto finito, puesto que:

A = {enero, febrero, marzo, , diciembre}Diremos que el conjunto es infinito numerable si es posible colocar los elementos de conjunto en correspondencia uno a uno con los enteros positivos, que constituyen un conjunto infinito pero numerable; por ejemplo, si B es el conjunto de los impares positivos, B es un conjunto infinito numerable, puesto que:

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, }

Finalmente, diremos que el conjunto es infinitono numerable, si no es posible colocar los elementos del conjunto en correspondencia uno a uno con los enteros positivos, en tal caso es no numerable; por ejemplo; si C es el conjunto de los números comprendidos en el intervalo , C es un conjunto infinito no numerable, puesto que

C = {x | 1  x  2}

Generalmente existen dos métodos para describir un conjunto: el de extensión y el decomprensión. Mediante el método de extensión podemos determinar un conjunto haciendo una enumeración de sus elementos. Por el método de comprensión podemos determinar un conjunto por medio de una notación matemática o una frase descriptiva que permita reconocer si un elemento pertenece o no al conjunto. Así, si A es el conjunto de los números dígitos, A puede describirse por el método de extensión como:A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

bien, por el método de comprensión como:

A = {x | x es un número dígito}

Subconjuntos

Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A es también elemento de B, diremos que A es subconjunto de B. Simbólicamente se escribe AB.

Todo conjunto puede ser considerado como subconjunto de si mismo; esto es, para todo A, AA.

Dos conjuntos A y B soniguales (A=B) si y solo si AB y BA.

El conjunto vacío es aquel conjunto que no tiene elementos y se representa por .

El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto.

El conjunto universal es el conjunto al que pertenecen todos los elementos de todos los conjuntos de una discusión. Así, a menos de que se disponga otra cosa, todos los conjuntos de una discusión se suponensubconjuntos del conjunto universal. Este se representa por U.


Diagramas de venn

Los conjuntos, sus relaciones y las operaciones algebraicas que con ellos se realizan, pueden representarse gráficamente mediante diagramas de Venn. En un diagrama de Venn, el conjunto universal se representa por un rectángulo, y los conjuntos de interés comúnmente por círculos dentro del rectángulo. La Figura...