Probabilidades y estadísticas

INTRODUCCIÓN

La estadística es la parte de la matemática que estudia el comportamiento de variables aleatorias. Esta se define como aquellas variables cuyos valores no están fijados, sino que cada uno de ellos tiene una probabilidad de que se produzcan. Debido a esto es necesario conocer con profundidad este tipo de variables.
El estudio de las variables aleatorias bidimensionales esimportante ya que en muchos casos, puede ser empleado para registrar los resultados simultáneos de diversas variables aleatorias. A continuación se darán a conocer conceptos como lo son la función de densidad conjunta, marginal y condicional, el valor esperado o esperanza matemática, variable aleatoria independiente.
Las Variables Aleatorias Bidimensionales. En determinadas ocasiones hay que trabajar enespacios de más de una dimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas aplicaciones se hacen utilizando variables aleatorias (v.a.) bidimensionales o n-dimensionales. En muchas ocasiones nos puede interesar estudiar conjuntamente dos características del fenómeno aleatorio, es decir, estudiarel comportamiento conjunto de dos v.a. para intentar explicar la posible relación entre ellas.
Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad. Inicialmente existen las variables aleatorias, siendo aquellas que se asocian a la ocurrencia de un fenómenoaleatorio. Cuando una de estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad, la cual es la distribución de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria.
Este recurso es un primer acercamiento a los conceptos de probabilidad, variables bidimensionales, ley delos grandes números la cual abarcan otros conceptos que definiremos más adelante. En ellos se introducen los conceptos elementales de la teoría de la probabilidad. Partiendo de ejemplos prácticos iremos definiendo los distintos conceptos y veremos las reglas y leyes básicas de la probabilidad como (ley de los grandes números). Existen herramientas matemáticas que se utilizan para predecir laocurrencia de un evento futuro, tomar decisiones en situaciones de incertidumbre y muchas otras cuestiones.


UNIDAD 3. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENCIONALES.

3.1. Función Densidad Conjunta.
El estudio de variables aleatorias y su distribución de probabilidad, en lo aprendido anteriormente ha estado restringido a espacios muéstrales unidimensionales en los que registramos los resultados asumidospor una sola variable en un experimento. Sin embargo habrá situaciones en las que convenga registrar resultados simultáneos de diferentes variables aleatorias.
Definición:
Se dice que dos variables aleatorias X e Y tienen una distribución continua conjunta si existe una función NO negativa f definida sobre todo el plano xy tal que para cualquier subconjunto A del plano,

La función f sedenomina función de densidad de probabilidad conjunta o f.d.p conjunta, de X e Y. Tal f.d.p conjunta debe satisfacer las dos condiciones siguientes:

La probabilidad de que el par (X,Y) pertenezca a cualquier región del plano xy se puede determinar integrando la f.d.p conjunta f(x,y) sobre esa región.
EL volumen total por debajo de la superficie z =f(x, y) y por encima del plano xy debe ser 1. Laprobabilidad de que el par (X, Y) pertenezca al rectángulo A es igual al volumen de la figura sólida con base que se muestra a continuación. La parte superior de la figura sólida está formada por la superficie z = f(x, y).


Ejemplo:
• En un estudio para determinar la posibilidad de graduación en una universidad, basado en datos de estudios anteriores, debemos usar un espacio bidimensional...