Probabilidades

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Contenido

4 Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad 4.1 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas 4.2 Esperanza y varianza de una variable aleatoria continua . . . . . 4.2.1 Esperanza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Varianza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . 4.3 La distribuci´n uniforme (continua) . . . .. . . . . . . . . . . . o 4.4 La distribuci´n normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.5 Las distribuciones gamma y exponencial . . . . . . . . . . . . . 4.6 Uso de Statgraphics para trabajar con distribuciones continuas .  Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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23 15 15 17 23 25 40 50 51

Respuestas a ejercicios impares seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

CAP´ ITULO

4

Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad

Contenido
4.1 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4.2 Esperanza y varianza de unavariable aleatoria continua 15 4.2.1 Esperanza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . 15 4.2.2 Varianza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 La distribuci´n uniforme (continua) . . . . . . . . . . . . 23 o 4.4 4.5 4.6 La distribuci´n normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Las distribuciones gamma y exponencial . . . . . . . . . 25 40 50 51

Uso deStatgraphics para trabajar con distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas

3

 Objetivos del cap´ ıtulo
1. Distinguir el concepto de variable aleatoria continua. 2. Facilitar la comprensi´n de los conceptos b´sicos delas distribuciones continuas de o a probabilidad. 3. Desarrollar el concepto de esperanza y varianza de una variable aleatoria continua. 4. Presentar aplicaciones de algunas distribuciones continuas en casos concretos.

 Empleo de la estad´ ıstica
≪Un gran fabricante de ropas, desea estudiar la distribuci´n en la estatura de las o personas. Esta empresa reconoci´ que el p´blico estaba enconstante cambio en su o u tama˜o f´ n ısico y en sus proporciones. En un esfuerzo por producir la ropa de mejor ajuste, la gerencia sinti´ que se necesitaba un an´lisis completo de las tendencias o a actuales en los tama˜os de moda. Se supone que si el fabricante fuera a medir n las estaturas de todos sus clientes potenciales, encontrar´ que las estaturas est´n ıa a distribuidas normalmente alrededorde una media de 67 pulgadas.≫

4.1

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas

Variables aleatorias continuas
En la definici´n ?? se ha dicho que una variable aleatoria es continua si y s´lo si o o tiene una cantidad infinita no enumerable de valores. As´ mismo, en ese cap´ ı ıtulo, m´s a espec´ ıficamente, en el ejemplo ?? se han presentado algunos tipos de variablesaleatorias que son continuas. En general, se ajustan naturalmente en esta categor´ las medidas ıa de tiempo, distancia o temperatura. En estos casos, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado valor1 es cero. Tambi´n resulta conveniente considerar como continuas las variables aleatorias que e siendo discretas se miden en una rejilla de valores tan fina, que la probabilidad decada valor espec´ ıfico es despreciable. Por ejemplo, si estudiamos la deuda en la que incurren los estudiantes de un programa de maestr´ la deuda ser´ ciertamente un n´mero ıa, a u entero de pesos. A pesar de ello, la probabilidad de que un estudiante elegido al azar se haya endeudado en exactamente $2.345.425 es suficientemente peque˜a como para n considerar la variable aleatoria como continua...
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