Problemas con conjuntos

PARTE OBLIGATORIA (16 puntos)

En esta parte TODAS las preguntas son obligatorias.

Pregunta 1

Indica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando tus respuestas.a. El polinomio es un factor del polinomio . (1 punto)
Solución

Verdadero
Por el Teorema del Resto: . Por tal, es un factor de .

b. Si , entonces . (1 punto)Solución

Verdadero
Si








c. En el paralelogramo , se cumple que: . (1 punto)
Solución

Verdadero
A
B
DC
H
I
En el paralelogramo , y son sus diagonales tal como se muestra en la siguiente figura:







Si se traza y se tiene que: y .
Por Teoremas de Euclides:
En eltriángulo ABD se cumple que: … (1)
En el triángulo ACD se cumple que: … (2)
Como y , sumamos (1) + (2) y obtenemos que:


c. Si el desarrollo en el plano de la superficie lateralde un prisma hexagonal regular es un cuadrado de lado , su volumen es igual a . (1 punto)
Solución

Falso
Si el desarrollo en el plano de la superficie lateral de un prisma hexagonal regulares un cuadrado de lado , la altura del prisma es igual a y la arista de la base es igual a . Luego, el volumen del prisma hexagonal regular es igual a:


Pregunta 2

Resuelve, en , lassiguientes inecuaciones:
a. si (2 puntos)
Solución

Restricción:

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:
,



Como y , entonces . Es decir,Los puntos de referencia son: y
1/a
-1/a

+
+
–



Luego, .

Por tanto,



b. (2 puntos)
Solución
Restricciones:Como y .

Los puntos de referencia son: , y


-
-
+
-2
0
1/2
+




Luego,
Finalmente,

Pregunta 3 (2 puntos)

En una fábrica el pago total...