Problemas de balances diferenciales matemáticas aplicadas

PROBLEMA 1
La cantidad de bacterias de un cultivo de crecer, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas que haya en dicho instante. Después de 3 horas se observa que tiene 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 2000.¿Cual es el numero inicial de bacterias?
* Definición del Problema
* Definición del Problema

Sistema. Población de bacterias.Lote

Variables de entrada:
N | Cantidad de bacterias en un tiempo dado |
t | Tiempo |


Tiempo Dinámico N(t).

Objetivo:

Se desea saber la cantidad inicial de bacterias dados N(3)=400 y N(10)=2000 .

Criterio de valoración.

“t” = (0) horas
N (3)= 133.3
N(10)=200
* Identificación de Mecanismos que controlan el sistema
*
* Identificación deMecanismos que controlan el sistema
*

* Crecimiento de bacterias
Proporcional al número de Bacterias presentes N (1er orden)
* Evaluar los datos del problema
*
* Evaluar los datos del problema
*

T(hr) | N(bac/hra) |
0 | No |
3 | 133.3 |
10 | 200 |
* Construcción del Modelo
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* Construcción del Modelo
*

* Balance de materia
Velocidadde Acumulacion deSal en el tanque=Velocidad de Entrada deSal en el tanque-Velocidad de Salida deSal en el tanque+Velocidad de Generación deSal en el tanque

dNdt∝N

dNdt=kN dNdt=kN
N0=No

dNdt=kN
N0=No

* Resolver el Modelo
*
* Resolver el Modelo
*

dNN=kdt
dNN=kdt

lnN=kt+C

eln⁡(N)=ekt+c

N=ekt+c

N=ektec

N=Cekt

N0=No

N0=Cek(0)
N0=C

N=NoektN3=400
400=Noe3k
No=400e3k
2000=Noe10k
In(2000)=In(Noe10k)
In2000=InNo+In(e10k)
In2000=InNo+10k
In2000-InNo=10k
k=In2000-InNo10
No=400e3In2000-InNo10
No=400e3In2000No10
No=400e310In2000No
No=400(2000No)103
(2000No)103No=400
2000103No103No=400
2000103No-73=400
No-73=4002000103
No=4002000103

2000400103=N0-73
N0=2000400103-37

N0=200.67A=200-170e-t50

A=200-170e-t50

* Verificar la solución del sistema
*
* Verificar la solución del sistema
*

PROBLEMA II
Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el cual se disuelven 30 gramos de sal. Una salmuera que contiene 1 g de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto; la solución adecuadamente mezclada se bombea haciaafuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos A(t) de sal que ay en el tanque en un instante cualquiera.

* Definición del Problema
* Definición del Problema

Sistema: Tanque con Sal

A | Cantidad de Sal en el tanque (gr) |
Fe | Velocidad de flujo volumétrico que entra al tanque (lts/min) |
Ce | Concentración de la solución de entrada (gr/lts) |
Fs | Velocidad deflujo de salida del tanque (lts/min) |
V | Volumen inicial en el tanque |
Variables de entrada:

Objetivo:

Se desea saber la cantidad de sal dado A(0)=30.

Entradas
min = 4 gramos de sal
Tanque
.15grlt=Co
Salidas
¿?????
Entradas
min = 4 gramos de sal
Tanque
.15grlt=Co
Salidas
¿?????

Criterio de valoración.
Tiempo= Dinámico
Tiempo= Dinámico

“t”=(0) minutos“Co”=.15grlt
A=Co*t

* Identificación de Mecanismos que controlan el sistema
* Identificación de Mecanismos que controlan el sistema

* Concentración de salen el tanque
Depende del tiempo
* Mezcladora V=300 gal
V del tanque=cte.
* Evaluar los datos del problema
* Evaluar los datos del problema

Fe = Fs = 4lts/min
A(0)=30 gr
Fe = Fs = 4lts/min
A(0)=30 grDatos medidos:
t | N |
0 | .15 lb/gal |

* Construcción del Modelo

* Construcción del Modelo

* Construcción del Modelo
*
* Construcción del Modelo

* Construcción del Modelo

* Construcción del Modelo
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* Balance de materia
Velocidad de Acumulacion deSal en el tanque=Velocidad de Entrada deSal en el tanque-Velocidad de Salida deSal en el...