Problemas De Fenomenos De Transporte

PROBLEMAS RESUELTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTES
1. El gradiente térmico de la tierra, medido en la superficie es 30ºC/Km supongamos que este valor no cambia en todo el trayecto hasta el centro de la tierra. Si la temperatura en la superficie terrestre es de 17ºC, calcular la temperatura en el centro de la tierra, considerar que es una respuesta razonable, considerare el radio de la tierrade 6370Km.
Solución:
r2qr'=cteT = 17 ºC

qr'= r02r2
T1
-K∂T∂r= r02q0r2
-KT0T∂T= r0q00r01r2∂r
-K (T-T0) = -r02q0(1r0)
-K (T-T0) = r0q0
K (T-T0) = -K0∂T0∂r0r0
T0- T=30ºCKm6370Km
T0=191117ºC





2.- Una barra metálica de hierro de 60cm de longitud y de área transversal de 2cm2, tiene un extremo a 80ºC y el otro a 20ºC. Calcular:
Solución: ∆Z AT=2x10-4m220ºc 80ºc


Haciendo un balance de energía:
qz⎥zπR2-qz⎥z+ ∆zπR2=0
lim∆z→0(qz⎥z+ ∆zπR2-qz⎥zπR2∆zπR2)=0
∂(qz)∂z=0
integrando:
qz= C1'
-K∂(T)∂z=C1'
∂(T)∂z=C1
INTEGRANDO
T = C1Z +C2 … (1)
Condiciones de frontera:
T = T0 , Z =Z0
T = T1 , Z = Z1

Remplazando en (1)
T0 = C1Z0 +C2
T1 = C1Z1 +C2
T0- T1= = C1(Z0-Z1)
C1= T0- T1Z0-Z1 … (2)
Hallando C2
C2= T0- C1Z0 … (3)
Remplazando (2) y (3) en (1)
T = C1Z+ T0- C1Z0
T = (T0- T1Z0-Z1)(z -Z0)+ T0 … (4)
Hallando Q:
Q=qz⎥z=LπR2 …(5)
Q = AT(-k)∂(T)∂z
a) Hallando el gradiente de temperatura:
∂(T)∂z=C1
∂(T)∂z=∆T∆X=80-20ºc(0-60)m = - 100 ºCm
b) Hallando la rapidez de transferencia de calor:
Donde: K= 0,008Jm S ºC
Q = 2x10-4m2x0,008Jm S ºCx80-20ºc(0-60)m=1,6x10-4w

c) Halando la temperatura a 20cm del punto caliente:
Reemplazando en (4)
T = (T0- T1Z0-Z1)(z -Z0)+ T0
T = (80- 200-0.60)(0.20 -0)ºC+ 80ºC = 60ºC
3.- un carpintero construye una pared. Hacia el extremo coloca una lamina de madera (K =0,08w/mk) de 2cm de espesor y hacia el interior una capa espuma aislante (K = 0,01w/mk) de 3,5cm de espesor. La temperatura de la superficie interior es de 19ºC y la exterior es de -10ºC.
Calcular:
a) La temperatura en la unión entre la madera y la espuma.
b) La razón de flujo de calor por m2 a través de esta pared.
Solución:
Madera Aislante
-10ºC19ºc
K1=0,01w/mk K2= 0,08w/mk

△X1= 2cm △X2=3,5cm
Haciendo un balance de energía en el material de espuma:
qx⎥xwL-qx⎥x+ ∆xπR2=0
lim∆x→0(qx⎥x+ ∆xwL-qx⎥xwL∆xwL)=0
∂(qx)∂x=0

Integrando:
qx= q0=q1 =const.
q0= -k1∂(T)∂x=
∂T=- q0k1∂x
Integrando:
T1- T0=- q0k1∆x1
q0=-k1∆x1(T1- T0)
Análogamente para elmaterial de madera:
T2- T1=- q1k2∆x2
q1=-k2∆x2(T2- T1)
Como: q0=q1
Reemplazamos:
-k1∆x1(T1- T0)=-k2∆x2(T2- T1)
-0,010,035(T1- 19ºC)=-0,080,02(-100ºC- T1)
T1= -8,06ºC



4. Una barra de hierro de 20cm de largo con un diámetro de 1cm tiene un extremo sumergido en una mezcla de hielo a 0ºC, mientras que el otro extremo está en un tanque de vapor a 100ºC. Suponga que a lo largo de labarra se ha establecido un gradiente de temperatura uniforme. Calcular:
a. La rapidez del flujo de calor a lo largo de la barra.
b. La rapidez con la que se funde el hielo en el extremo frío.
c. La rapidez con la que se condensa el vapor en el extremo caliente para mantener el gradiente de temperatura uniforme.
d. La gradiente de temperatura a lo largo de la barra.
SOLUCIÓN:Haciendo un balance de energía:


Aplicando límite:

Integrando la ecuación diferencial:
…(1)
Se sabe que:
…(2)
Reemplazando (2) en (1):

…(3)
Integrando (3):
…(4)
Se tiene los límites:


Reemplazando en (4) y restando, obtenemos:

Hallando C2:

Reemplazando en (4):

Entonces:

a. Hallando “Q”:

Reemplazando:

d. Hallando la gradiente:
=

5.-...