PROBLEMAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES L MITES CONTINUIDAD

NOLAN JARA JARA
PROBLEMAS DE: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, LÍMITES, CONTINUIDAD,
DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIALES
1. Sean la funciones f(x)=arcsen(x) y g(x,y)= 16  x 2  y 2 .Hallar el dominio de fog y la
respectiva regla de correspondencia. Esbozar la superficie de nivel cero (k=0),para la función
h(x,y,z)=f(g2(x,y))-z.

 

2. Sea f(x,y)=ln 3  x  y

 ;graficar las curvas de nivel def , graficar f, analice la continuidad

de f en su dominio.
3. Si V(x,y) es el potencial eléctrico en el punto (x,y) del plano XY, entonces las curvas de nivel de
V se llaman curvas equipotenciales por que en todos los puntos de dicha curva el potencial eléctrico
es igual. Trace algunas curvas equipotenciales si

V(x,y) =

50
49  x 2  y 2

4. Evaluar los siguientes límites, si existen:

 xy  2 x3 y 3  8 
lim 

( x , y )  (2,1) 
xy  2


 x3  x 2 y  xy 2  y 3 
lim 

( x , y )  (0,0)
x2  y 2


5. Usando dos curvas que pasan por el punto (1, -2) determine si existe
6. Calcule

lim

( x , y )(1, 2 )

2x  y
.
2x2  y

tg ( x 2 y )
, si existe.
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
lim

7. Analizar la continuidad de la función


x2  y 2  
5

5
sen
(
)

2

g ( x, y ) 
( x 2  y 2 )2

5

8


, ( x, y )  (0, 0)
, ( x, y )  (0, 0)

8. Hallar A tal que f sea continua en (0,0)

 cos( xy )  cos( sen(2 xy ))

x2 y 2
f ( x, y )  

A


, ( x, y )  (0, 0)
, ( x, y )  (0, 0)

9. Calcular el valor de A tal que:

Sea continua en (0,0).
10. Calcular el valor de A tal que:

1

NOLAN JARA JARA

Sea continua en (0,0).

 1 
 2 



11. Determinar la ecuaciónde los planos que pasando por la recta L=  1, ,0  t (1,1,0); t 



, son tangentes a la superficie 2x²+4y²-z=0
12. Trazar un plano tangente a la superficie x²-y²=3z de tal modo que pase por el punto A(0,0,-1) y
que sea paralelo a la recta

x z
 y
2 2

13. Trazar el plano tangente al elipsoide x²+2y²+z²=1, de tal modo que sea paralelo al plano
x-y+2z=0.
14. Sea f ( x, y )  e xy 

x
sen  (2 x  3 y ) , hallar:
y

f f f
f
, , (0,1), (2,1)
x y x
y
15. Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie definida por la ecuación

z  6 2 x2  y3  2 

4
 15 en el punto (2,-1,1).
xy 2

1  e ( x  y )

 2 y 2 ; si x  y ²
16. Sea f ( x, y )   x  y 2

2 y 2 ; si x  y ²

f f
en los puntos que exista.
hallar
,
x y
2 2

 x 3  y²

; si( x  y ²)  0
17. Sea f(x,y)=  x  y 2
 0 ; si ( x  y ²)  0
hallar

f (1,1) f (1,1)
,
si 
x
y

 xy
; si( x, y )  (0,0)

18. Sea f(x,y)=  x 2  y 2

 0; si.........( x, y )  (0,0)
f f
en (0,0) ? ¿Es f diferenciable en (0,0)?
¿Es f continua en (0,0)?¿  ,
x y

2

NOLAN JARA JARA
xy

; si ( x , y )  (0,0)
 2
19. Sea f(x,y)=  x  y 2
 0; si.........( x , y )  (0,0)

ff
¿Es f continua en (0,0)?¿  ,
en (0,0) ? ¿Es f diferenciable en (0,0)?
x y


xy 2
3 xy  2
; si ( x , y )  (0,0)
20. Sea f(x,y)= 
x  y2
 0; si...................( x , y )  (0,0)
¿Es f continua en los puntos (0,0),(0,1) y (1,1)?¿ 

f f
en los puntos (0,0),(0,1) y (1,1)? ¿Es f
,
x y

diferenciable en los puntos (0,0),(0,1) y (1,1)?

1
 2
2
); si( x, y )  (0,0)
( x  y ) sen( 2
21.Sea f(x,y)= 
x  y2

0; si.........( x, y )  (0,0)

f f
f f
¿Es f continua en (0,0)?¿  ,
en (0,0); , son continuas en (0,0) ? ¿Es f diferenciable en
x y
x y
(0,0)?

2 y² x

; si ( x  y ²)  0
 xy 
22. Sea f(x,y)= 
x  y2

xy ; si ( x  y ²)  0

f f
f f
¿Es f continua en (0,0)?¿  ,
en (0,0); , son continuas en (0,0) ? ¿Es f diferenciable en
x y
x y
(0,0)?

 y ²( x 1)
; si ( x  y )  0

23. Sea f(x,y)=  x  y

 0 ; si ( x  y )  0
f f
f f
¿Es f continua en (1,-1)?¿  ,
en (1,1); , son continuas en (1,-1) ? ¿Es f diferenciable
x y
x y
en (1,-1)?

 x
y
e  e 

xy
; si ( x, y )  (0,0)
x  y2

2 ; si ( x, y )  (0,0)

f f
f f
en (0,0); , son continuas en (0,0) ? ¿Es f diferenciable en
¿Es f continua en (0,0)?¿  ,
x y
x y
24...