Funciones De Varias Variables

Funciones de varias variables

Calculo vectorial



Funciones de varias variables
El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquiersituación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momentodeterminado requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere lavelocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial fque a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad V del móvil en ese punto y en ese instante: f(x; y; z; t) = v Observamos entonces que de acuerdo con lasituación especifica que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada. Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:Función Nombre

En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se conserva. Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la función es un numero o esun vector. Ejemplo: la función g esta definida por g (x, y, z) = x2+y2-z entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado en la figura, es la superficie de nivel de g en 0. La superficie de nivelde g en el numero k tiene la ecuación z + k = x2 + y2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z. en al figura muestra las superficies de nivel para k igual a -4,2, 0, 2y 4

Ejemplo: Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura (en grados centígrados) de la placa es función de las coordenadas de cada uno de sus puntos y vienedada por: T(x, y) = 500 - 0,6x2 - 1,5y2

Representación grafica de la función T(x, y)

Método para hallar el dominio
Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x)....