Problemas De Funciones Hiperbolicas

1. Calcular: senh xcosh xdxcosh4(x)+senh4(x)
Denotamos por I el valor de dicha integral, utilizaremos las siguientes identidades:
1 senh2x= 12cosh2x-1 , cosh2x= 12cosh2x+1
2 duu2+1=lnu+u2+1+c
3 2senh xcoshx=senh (2x)
Entonces: seh4x + cosh4x= 14[cosh2x-1]2 + 14[cosh2x+1]2=12[cosh22x+1]
Luego: I=12senh2xdx12cosh2(2x)+1= 122d(cosh2x)cosh2(2x)+1= 122duu2+1= 122lnu+u2+1+c
Haciendo: u=cosh(2x)
Por tanto: I=122lncosh(2x)+ cosh2(2x)+1+c

2. Calcular: tanh3x dx
tanh3x dx= tanh x tanh2x dx= tanhx 1-sech2xdx
=tanhx dx- tanhx sech2x dx=tanhxdx- tanhxdtanhx
d(cosh x)cosh x-tanhxdtanhx=lncosh x-12tanh2x+c

3. Demostrar las siguientes derivadas:
a d(senhx)dx=cosh x (b) d(coshx)dx=senh x

ad(senhx)dx=d(ex-e-x)2dx=12d(ex)dx-12d(e-x)dx=ex2+e-x2=ex+e-x2=coshx
b d(coshx)dx=d(ex+e-x)2dx=12d(ex)dx+12d(e-x)dx=ex2+e-x2=ex-e-x2=senhx
4. Demostrar la siguiente identidad:
cosh2x-senh2x=1Sabemos: coshx=ex+e-x2 y senhx=ex-e-x2
Entonces:
cosh2x-senh2x= (ex+e-x2)2- (ex-e-x2)2=14e2x+e-2x+2-14(e2x+e-2x-2)
cosh2x-senh2x=14e2x+e-2x+2-2e2x-e-2x+2=15. Hallar la relación entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas del seno y coseno:
Sabemos que en coordenadas polares existe la relación compleja:
eix=cosx+isen x
e-ix=cosx-isen x
Dedonde obtenemos: sen x=eix-e-ix2i y cos x=eix+e-ix2
* Para el seno: (hacemos x=-ix)
sen-ix=ex-e-x2i=1i ex-e-x2=1isenh x
senh x=isen(-ix)
* Para elcoseno: (hacemos x=ix)
cosix=ex+e-x2=cosh x
coshx=cos⁡(ix)
6. Calcular: tanh(lnx)
tanhx=senh xcoshx=ex-e-xex+e-x
Hacemos: x=lnx
Entonces:tanhlnx=elnx-e-lnxelnx+e-lnx=x-1xx+1x=x2-1x2+1

7. Calcular: S=senh 13+senh 29+senh 327+…
S=12k=1∞ek-e-k3k=12k=1∞e3k-12k=1∞13ek…(*)
Hacemos:
S1=12k=1∞e3k , m=e3 <1 y S2=12k=1∞13ek,n=13e <1
Sea:...