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SEMANA 2: ¿Qué Es La Programación Lineal ?En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver lasituación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.
2379980150495Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:
pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.
En un problema deprogramación lineal intervienen:
Función objetivo: La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
Restricciones: deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades onecesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o ); como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
Región factible: Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región ) factible. Todo punto de ese conjunto puede sersolución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la región factible.
Solución óptima: del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.
Determinación De La Región Factible 238125038735
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Región factible acotadaRegión factible no acotada
La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o>).
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.
El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:
1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones.
Se dibuja la recta asociada a lainecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos
Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la regiónválida es la otra.
2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones.
Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.
Veámoslo con unejemplo:
Dibuja la región factible asociada a las restricciones:
x + y 4
y 4
y x
Las rectas asociadas son : r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x
Elegimos el punto O(0,0), que se encuentra en el semiplano situado por debajo de la recta. Introduciendo las coordenadas (0,0) en la inecuación x + y 4, vemos que no la satisface: 0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el conjunto de soluciones de la...