Problemas De Optimizaci N Resueltos


1- Una caldera tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 metros cúbicos. Se sabe que la pérdida de calor a través de las paredes laterales vale 100 unidades por metro cuadrado, mientras que a través del techo es de 300 unidades por metro cuadrado. La pérdida por el suelo es tan pequeña que puede considerarse nula (=0). Calcula las dimensiones de la caldera para que lapérdida de calor sea mínima.
Antes de nada tenemos que tener bien claro los pasos que tiene un problema de optimización.

Paso 1º: Encontrar dentro del problema la función a maximizar o minimizar. Ésta vendrá acompañada de la expresión “sea mínima” o “sea máxima”, “maximiza” o “minimiza”.

Paso 2º: Debemos encontrar en el problema una ecuación que me relaciones las variables que intervienen en lafunción, generalmente vienen dadas por un número que representa una fórmula conocida.
En problemas de geometría me tengo que fijar siempre en triángulos rectángulos para aplicar el teorema de Pitágoras, en áreas de figuras planas o volúmenes de figuras en el espacio.
En nuestro caso: “volumen de 768 metros cúbicos”.

Paso 3º: En la ecuación que relaciona las variables, despejamos una de las variablesen función de la otra y sustituimos en la función a maximizar o minimizar. Así consigo una función en una variable.

Paso 4º: Una vez que tengo la función en una variable, derivo e igualo a cero la derivada. Resuelvo la ecuación que me queda, y las soluciones serán los posibles máximos y mínimos.
Para comprobar que los valores son máximos o mínimos basta ver que ocurre a ambos lados del posiblemáximo o mínimo en cuestión de crecimiento o decrecimiento. También se puede ver con la derivada segunda.
En problemas de la vida real casi siempre se descartan las soluciones negativas.

Paso 5º: Sustituyo en la ecuación que relaciona las variables y ya tengo las soluciones para las variables que intervienen en mi función.
Ahora sustituyo dichos valores en la función y obtendré cuál es el valormáximo o mínimo que alcanza la función.

Para empezar debemos de hacer un dibujo.
Esta es mi caldera. Como tiene la base cuadrada, el largo y el ancho de la base miden lo mismo, esto es, a.



Paso 1º: Ahora vamos a ver cuál es la función a maximizar y cuál es la ecuación que me relaciona las variables a y b.
El texto nos indica cual es la función a maximizar o minimizar: “la pérdida de calorsea mínima.”
Ahora esta pérdida se produce por el techo y por las paredes laterales en unidades por metro cuadrado.

La caldera tiene cuatro caras laterales cuya superficie es a·b y tiene un techo cuya superficie es a·a.
Así pues la función a maximizar es:, 100 unidades por cada metro cuadrado de cada cara y 300 unidades por cada metro cuadrado del techo, esto es: .

Paso 2º: Tenemos que buscar enel texto una frase que me relacione las variables y esta es la siguiente:
“un volumen de 768 metros cúbicos”. El volumen de un prisma es alto x largo x ancho. En este caso, , es decir: .

Paso 3º: Despejamos una de las variables de la ecuación obtenida (preferiblemente despejamos b porque despejar a supone trabajar con raíces) y después sustituimos en la función.
. Sustituimos en . Nos queda :, o lo que es lo mismo: .

Paso 4º: Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles máximos y mínimos.
; ; ; ; ; ;
Formo dos intervalos
Tenemos claro que si decrece y crece, en tenemos un mínimo.

Paso 5º: Sustituyo en , que es la ecuación que relaciona las variables y obtengo que . Calculo la pérdida de calor que sufre la caldera sustituyendo y en .




2- Se quiere construir unrecipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?
En este caso hacemos primero el dibujo, que tiene que ser algo parecido a lo siguiente:

Paso 1º: El problema nos pide “capacidad máxima” con lo que la función a maximizar en este caso es el volumen del cono, que ya sabemos que es
En este caso tenemos dos variables, la altura y el radio, así pues la...