Problemas De Optimizaci N Y Tasas Relacionadas

Problemas de optimización y tasas relacionadas
1. Considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene,

g’ ®= −2r + 4 = 0

Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,
g(0) = −2 g (1) = 1

Se puede observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.

Un tipo parecido de problema es el problema de las tasas relacionadas. Se trata de un problema en el que se proporcionala tasa de variación de al menos una variable de la función y en el problema se necesita buscar la otra tasa de variación.

También hay ciertas reglas simples para resolver estos problemas:
Considereque f(a) sea una función con dos variables a y b, las cuales cambian con el tiempo y la tasa de variación de a es dada con el tiempo, es decir,  


1). En primer lugar, encontrar la derivada de f(a),es decir, f ‘(a)

2). Ponga el valor de a en la ecuación

3).Entonces multiplíquelo con  para obtener 

Aplicar las reglas en un ejemplo proporcionará una mejor comprensión:
Suponga que la preguntadada dice lo siguiente: Se está bombeando aire a un globo esférico de 4 cm de radio a 5 cm3 / seg. Entonces, el ritmo de cambio del radio del globo necesita ser calculado.
Se puede observar que elradio y el volumen son las variables de las funciones correspondientes. 

 es dada y es igual a 5 cm3/seg y necesita encontrarse. Como  V= 4 r3 / 3. 

Diferenciando ambos lados, se obtiene.Ԉ Ahorasustituyendo el valor de en esta ecuación, se obtiene 
cm /seg.

2. Se tiene un rectángulo de altura Y y base X y 100mts de cable para cercarlo, y se quiere saber cuál es el área máxima que puedeabarcarse con los 100m de cable. Entonces se tiene que el perímetro está dado por: 2y + 2x y a su vez el perímetro son los 100m de cable, así que 100 = 2x + 2y = 50 = x + y. Ahora despejamos en términos de...