Problemas Decontabilidad

PROBLEMAS RESUELTOS: MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Guillermo Rus Carlborg 1 , Esther Puertas García 2 Enero de 2008

Contratado Doctor. Departamento de Mecánica de Estructuras. Universidad de Granada. 2 Profesor Ayudante. Departamento de Mecánica de Estructuras. Universidad de Granada.

1 Profesor

c copyright 2007: Guillermo Rus Carlborg, Esther Puertas García Editor: Departamento deMecánica de Estructuras, Universidad de Granada

G. Rus, E. Puertas

Problema 1
Se considera la viga empotrada en un extremo y sometida a axil p(x) representada en la figura. Empleando una discretización de dos elementos lineales y una discretización de un elemento cuadrático y suponiendo que la carga es constante p(x) = p0 y variable p(x) = p0 x. L

Se pide: 1. Plantear el problema teórico.2. Discretizar y hallar las funciones de forma. 3. Obtener la matriz de rigidez. 4. Obtener el el vector de fuerzas externas. 5. Obtener el desplazamiento en el centro y extremo de la viga, comparando los resultados obtenidos para L = 10m, E = 0.1M P a, A = 0.01m2 , p0 = 0.1N/m.

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G. Rus, E. Puertas

Solución 1
1. Planteamiento teórico del Problema
Para obtener el problema a resolverbasta con aplicar las ecuaciones de equilibrio en una rebanada de la viga:

N + dN + p(x)dx − N = 0 dN + p(x) = 0 dx Sabemos N =
−t/2 t/2

σxx b(z) dz = EA

du dx

sustituyendo en la expresión anterior: d2 u dN + p(x) = EA 2 p(x) = 0 dx dx En consecuencia, la formulación fuerte del problema se puede escribir: Hallar u(x); x ∈ [0, L] tal que EA u,xx (x) + p(x) = 0; x ∈ (0, L) u(0) = 0; u,x(0) = 0 La formulación débil del problema consiste en aplicar un desplazamiento virtual v definido en [0, L] con las mismas condiciones de contorno e integrar en el dominio:
L L

−
0

EA u,xx (x)v(x)dx =
0 1

p(x)v(x)dx

Integrando por partes el primer miembro
L 0
1

u,xx (x)v(x)dx = u,x (x)v(x)|L − 0

L

u,x (x)v,x (x)dx
0
L

Para las condiciones de contorno del problemam elproducto u,x (x)v(x)|0 se anula.

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G. Rus, E. Puertas Se deduce
L 0

EA u,x (x)v,x (x)dx = EAu,x (x)v(x)|L + 0

L

p(x)v(x)dx
0

En consecuencia, la formulación débil del problema, equivalente el Principio de los Trabajos Virtuales2 es: Hallar
L 0 1 u ∈ H0 (0, L) L 0 1 p(x)v(x)dx ∀v(x) ∈ H0 (0, L)

tal que

EA u,x (x)v(x)dx = EAu,x (x)v(x)|L + 0

Dada una particiónuniforme de [0, L] en n intervalos de igual longitud, el problema discreto asociado sobre el espacio de elementos finitos construido sobre esta partición a partir de las funciones de forma Hi se define: Hallar u(x) ≃ H1 (x)u1 + H2 (x)u2 + · · · + HN (x)uN
n
(e) xj

tal que

e=1

xi

(e)

EA u(e) (x)v,x (x)dx = EAu(e) (x)v(x) ,x ,x

xj xi

(e) (e)

(e) xj

+

xi

(e)

p(x)v(x)dxEste planteamiento es análogo a resolver el sistema de ecuaciones: Ku = f donde Kij = 0 Bi C (e) Bj J (e) A(e) dx′ ; fj = Fj + 0 p(x) Hj dx siendo K la matriz de rigidez, u el vector de desplazamientos de los nodos y f el L (e) vector de fuerzas externas, Fj = EAHj,x u(e) Hj 0 . Para el caso general, el problema discreto consiste en
e Hallar ui (x1 , x2 , x3 ) = Hin (x1 , x2 , x3 )un i e e CijklBijnc Bklmd dV un = c e V e fd Hdm dV + e (e) 1 (e) (e) L(e)

tal que

e

V

e

V

e

Se

S e fd Hdm dS

2. Discretización y funciones de forma
Dos elementos lineales La discretización empleada mediante dos elementos lineales se recoge en la figura 1. Al definirse 3 nodos, existen 3 grados de libertad, de éstos los nodos 2 y 3 están definidos en desplazamientos, el único grado delibertad en fuerzas se define para el nodo 1.
2 En esta expresión el primer término representa el trabajo virtual interno que realizan las tensiones reales en la viga sobre las deformaciones virtuales. Y el segundo término es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales

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G. Rus, E. Puertas

Figure 1: Discretización de la estructura: (a) Nodos...