problemas matematicos y fisica


Hallar las dimensiones del cilindro de volumen maximo inscrito en una esfera de radio 6cm

Si dibujas un círculo que represente a la esfera, el cilindro de su interior sería un rectángulo. Sitrazas una línea horizontal y otra vertical por el centro de la figura, el rectángulo queda dividido en otros 4 rectángulos iguales. Toma uno de ellos y traza su diagonal desde el centro del círculo.Para los cálculos observaremos uno de los triángulos rectángulos en que ha quedado dividido finalmente el rectángulo pequeño: 

hipotenusa = R = radio de la esfera 
cateto horizontal = y = radio dela base del cilindro 
cateto vertical = x = mitad de la altura del cilindro 

Volumen del cilindro = Area de la base por altura: 

V = (π·y²) · (2x) = 2π·x·y² 

...para dejar una sola variableutilizamos Pitágoras en el triángulo del dibujo 

R² = y² + x² ==> y² = R² - x² 

...sustituimos en la función del volumen 

V = 2π·x·(R² - x²) = 2πR²·x - 2π·x³ 

...derivamos la función 

V' = 2πR² - 6π·x² 

...y la igualamos a cero para localizar los posibles máximos o mínimos 

2πR² - 6π·x² = 0 ==> x² = 2πR²/(6π) = R²/3 

x = R/√3 

...con la ecuación de Pitágoras anteriorcalculamos "y" 

y² = R² - x² = R² - R²/3 = 2R²/3 

y = R·√(2/3) 

como x era la mitad de la altura del cilindro entonces sus dimensiones son: 

>>> Altura = 2x = R·2/√3 
>>> Radio de la base =y = R·√(2/3) 


NOTA: habría que demostrar que se trata realmente de un volumen máximo y no mínimo, pero como sólo se ha obtenido un valor de x, y dada la geometría del problema, está claro que esun máximo (el mínimo sería un puntito en el centro de la esfera). 
De todas formas para verificar que es un máximo hay que comprobar que la derivada segunda es negativa para ese valor de "x": ...derivada segunda 
V " = - 12π·x 
...y para x = R/√3 
V " = -12π·R/√3 , que es negativo como se suponía 


Tiro vertical. TP-11
Cinemática: Solución del ejercicio n° 2
Problema n° 2) Se lanza...