Problemas resueltos, probabilidades discretas

Gu´ 5, Probabilidades ıa
Facultad de Ingenier´ y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes. ıa Tema: Variables Aleatorias Discretas. P1.- Una caja contiene 5 bolitas blancas y 4 negras, las cuales se extraen sucesivamente al azar y sin reposici´n. Sea X la variable aleatoria definida como el o instante de aparici´n de la primera bolita blanca. Determinar la densidad de o probabilidad puntual pX (k) =P(X = k) con k ∈ Sop(X), el cual deber´ dea terminar. Calcular adem´s E(X) y V ar(X). a P2.- Un experimento consiste en lanzar indefinidamente, un par de dados equilibrados. Calcular la densidad de probabilidad puntual de la variable aleatoria X definida como el instante en que aparece por primera vez un par de valores cuya suma es 7. Calcular E(X) y V ar(X). P3.- Dos personas compiten en una seriede juegos. Triunfa el primero que haya acumulado 4 juegos ganados. Suponga que una de las personas es mejor que la otra y que tiene probabilidad p de ganar un juego cualquiera de la serie. Suponga adem´s que hay independencia entre juegos sucesivos. Determinar la a funci´n de masa puntual de la variable aleatoria X definida como el instante o en que termina el juego. Calcular E(X). P4.- Suponga quese realizan tiradas independientes de una moneda cuya probabil1 idad de cara es 30 . Determinar el n´mero esperado de sellos antes de obtener u 5 caras. P5.- Se ha determinado que la venta diaria del pan en una panader´ expresada en ıa, kilos de pan, es una variable aleatoria discreta con valores enteros no negativos y funci´n de densidad puntual pX dada por: o  si 0 ≤ k < 500  Ak A(1000 − k) si500 ≤ k < 1000 pX (k) =  0 en otro caso. (a) Determinar el valor de la constante A, de modo que pX sea una densidad de probabilidad. Graficar la funci´n pX . o (b) Calcular la probabilidad de que el pan vendido sea: (b.1) M´s de 500 kilos. Menos de 500 kilos. a (b.2) Entre 250 y 750 kilos. (c) Calcular, usando la definici´n de probabilidad condicional, la probabilio dad P(X > 500 | 250 < X < 750).P6.- Un paracaidista aterriza en un camino recto que une dos ciudades A y B, tal que su punto de impacto es una variable discreta cuya funci´n de masa puntual o es constante (uniforme) en el conjunto {A, A + h, A + 2h, . . . , A + nh = B}. Calcular la probabilidad de que el cuociente de su distancia a A sobre la distancia a B sea: (a) Mayor que 3 (b) Mayor que r, donde r es un real positivocualquiera. 1

P7.- Una loter´ tiene N resultados posibles, equiprobables. Se sabe que hay n ıa personas que han jugado y cada una de ellas, independientemente ha escogido su n´mero en {1, . . . , N } al azar. Tal como en el juego del loto, puede ocurrir u que varias personas hayan escogido un mismo n´mero. Suponga que hay un u pozo de M pesos a repartir entre aquellos que acierten al n´meroganador, u M de manera tal que a cada uno le toca la cantidad X+1 , si X > 0 o bien, 0 si X = 0, donde X es la variable aleatoria correspondiente al n´mero de u personas que escogieron el n´mero premiado. Usted est´ considerando jugar, u a para lo cual debe pagar m pesos por un boleto. (a) Muestre que X es una variable binomial, especificar sus par´metros, esa criba la correspondiente funci´n deprobabilidad pX y calcule E(X). o (b) Sea Y la variable aleatoria correspondiente a la ganancia neta que obtendr´ en el juego. Escribir Y como funci´n de X y calcular E(Y ). a o (d) Calcular E(Y ) para los valores N = 2 · 106 , n = 6 · 106 , M = 6 · 108 y m = 400. P8.- Sea (Xi )n variables aleatorias discretas independientes con funci´n de diso i=1 tribuci´n FX y soporte S com´n. o u (a) Demostrar que lafunci´n de distribuci´n de M = max Xi , est´ dada o o a por FM (k) = P(M ≤ k) = (FX (k))n usar la independencia.
i=1,...,n

(c) Considere la aproximaci´n de Poisson para la variable X vista en clases o y calcular nuevamente E(Y ).

∀ k ∈ S.
n

Ind: Primero demostrar que {M ≤ k} =

{Xi ≤ k} ∀ k ∈ S y luego
i=1

(b) Calcular la funci´n de densidad pM (k) = P(M = k), con k ∈ S. o Ind:...