Problemas Resueltos G 5 6 7
Páginas: 12 (2885 palabras)
Publicado: 5 de agosto de 2015
Problemas resueltos G-5-6-7
Mat-227
Profesor: Diego Lobos M.
1 Considerando la función f (z) = z y la circunferancia C1 de centro 0 y radio
3: Calcule
Z
f (z) dz
C1 +
R1 Por de…nición, si consideramos la parametrización de C1 ; dada por
0
(t) = 3eit ;
(t) = 3ieit ; (t 2 [0; 2 ])
entonces
Z
f (z) dz
=
C1 +
Z
(t)
0
(t) dt
C1 +
Z
2
3eit 3ieit dt
0
=
9i
Z
2
it it
e
e dt
0
=9i
Z
2
dt
0
=
18 i:
2 Considerando la función f (z) = Re(z) y la curva
2
2
C2 :
calcule
(Im (z))
(Re(z))
+
=1
9
4
Z
f (z) dz
C2 +
R2 Por de…nición, si consideramos la parametrización de la curva C2 dada por
0
(t)
=
(t)
=
3 cos (t) + i2 sin (t) ; (t 2 [0; 2 ])
3 sin (t) + i2 cos (t)
1
entonces
Z
f (z) dz
=
C2 +
Z
2
0
Re( (t))
(t) dt
0
=
Z
2
3 cos (t) ( 3 sin (t) +i2 cos (t)) dt
0
=
9
Z
2
cos (t) sin (t) dt + i6
2
cos2 (t) dt
0
0
=
Z
0 + 6 i:
3 Considerando la rama principal de la raíz cuadrada:
1
f (z) = e 2 Log(z) ;
donde Log(z) = ln jzj+iArg(z); es la rama principal del logaritmo. Calcule
Z
f (z) dz; (k 2 f1; 2g)
k
donde
a
1
(t) = eit ; t 2 [0; ] :
b
2
(t) = e
it
; t 2 [0; ] :
R3.a Por de…nición
Z
f (z) dz
=
Z
1
1 (t))
1
ite 2 Log(
0
1
(t) dt
0
1
=
Z
e 2 Log(e
)
ieit dt
0
=
Z
it
it
1
e 2 (lnje j+iArg(e )) ieit dt
0
=
Z
1
e 2 it ieit dt
0
=
i
Z
3
e 2 it dt
0
=
i
Z
cos
0
=
2
3
2
2i
3
3t
2
+ i sin
3t
2
dt
R3.b Por de…nición
Z
f (z) dz
=
Z
1
e 2 Log(
0
2
2 (t))
(t) dt
0
2
=
Z
e 2 Log(e
it
)
i
e 2 (lnje
it
j+iArg(e
1
ie
it
dt
0
=
Z
1
0
=
i
Z
1
2 ite
it
e
it
))
e
it
dt
dt
0
=
i
Z
3
2 it
e
dt
0
=
i
Z
3t
2
cos
0
=
i
Z
3t
2
cos
0
=
3t
2
+ i sin
i sin
3t
2
dt
dt
2 2i
+
3
3
4 Considerando la función f (z) = z y la trayectoria dada por
1
t) eit ; t 2 [0; 2 ] :
(t) = (3
calcule
Z
f (z) dz
1
R4 Para describir la curva descrita por 1 (t) = (3
bio de variables u = (t 3 ) ; luego
(3
t) eit =
uei(u+3
Notemosque si t = 0; entonces u =
)
=
t) eit ; tomaremos el cam-
ueiu ei3 = ueiu
3 y si t = 2 ; entonces u =
:
Entonces la trayectoria (u) = ueiu = (u cos (u) + iu sin (u)) ; y (u) descibe
una sección de espiral comprendida desde el punto ( 3 ) = 3 +0i hasta
3
el punto
(
)=
+ 0i:
y
14
12
10
8
6
4
2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
4
6
8
10
12
14
z2
2 ;
por el
x
-4
-6
-8
-10-12
-14
Grá…co obtenido con herramientas computacionales
Note que se recorre en sentido antihorario
Pero como la función f (z) = z; tiene una antiderivada F (z) =
teorema fundamental del Cálculo se tiene que
Z
f (z) dz = F ( 1 (2 )) F ( 1 (0))
1
= F( (
2
=
=
(3 )
2
2
4
))
F ( ( 3 ))
2
2
5 Sea a 2 R+ : Considerando el conjunto A = z 2 C : jzj
calcule la integral
Z
a^0
ez dz
@A+
parademostrar que
Z 2
ea cos(t) cos (t + a sin (t)) dt =
0
4
sin (a)
:
a
Arg (z)
2
;
R5 Notemos que la región A es la región correspondiente al 1 cuadrante e
interior a la circunferencia jzj = a:
y
x
como @A es una curva de Jordan s.p.p, y f (z) = ez es una función analítica
en C (función entera), entonces independiente del radio a; se tiene que
Z
ez dz = 0:
@A+
Ahora si parametrizamos (demanera independiente) los trozos suaves de @A;
como
entonces
0
1
1
(t)
=
2
(t)
= aeit ;
3
(t)
=
Z
at;
0
2
0
3
ati;
ez dz =
@A+
(t) = a; (t 2 [0; 1])
Z
(t) = aieit ;
h
t 2 0;
2
i
(t) = ai; (t 2 [0; 1])
ez dz +
1
Z
ez dz
2
Z
ez dz
3
(signos acordes a la orientación de @A+ ).
Al desarrollar las integrales obtenemos
0
=
a
Z
1
at
e dt +
0
0
=
ea
Z
2
it
e(ae )aieit dt
0
1 + ai
Z
2
ai
Z
1
eati dt
0
e(a cos(t)+i(a sin(t)+t)) dt
0
5
eai
1
simpli…cando y reordenando términos obtenemos:
i
Z
2
ea cos(t) (cos (a sin (t) + t) + i sin (a sin (t) + t)) dt
=
eai
a
0
i
Z
2
Z
ea cos(t) cos (a sin (t) + t) dt
0
2
ea cos(t) sin (a sin (t) + t) dt
0
=
cos (at)
a
al igualar las partes imaginarias obtenemos
Z
2
ea cos(t) cos (t + a...
Mat-227
Profesor: Diego Lobos M.
1 Considerando la función f (z) = z y la circunferancia C1 de centro 0 y radio
3: Calcule
Z
f (z) dz
C1 +
R1 Por de…nición, si consideramos la parametrización de C1 ; dada por
0
(t) = 3eit ;
(t) = 3ieit ; (t 2 [0; 2 ])
entonces
Z
f (z) dz
=
C1 +
Z
(t)
0
(t) dt
C1 +
Z
2
3eit 3ieit dt
0
=
9i
Z
2
it it
e
e dt
0
=9i
Z
2
dt
0
=
18 i:
2 Considerando la función f (z) = Re(z) y la curva
2
2
C2 :
calcule
(Im (z))
(Re(z))
+
=1
9
4
Z
f (z) dz
C2 +
R2 Por de…nición, si consideramos la parametrización de la curva C2 dada por
0
(t)
=
(t)
=
3 cos (t) + i2 sin (t) ; (t 2 [0; 2 ])
3 sin (t) + i2 cos (t)
1
entonces
Z
f (z) dz
=
C2 +
Z
2
0
Re( (t))
(t) dt
0
=
Z
2
3 cos (t) ( 3 sin (t) +i2 cos (t)) dt
0
=
9
Z
2
cos (t) sin (t) dt + i6
2
cos2 (t) dt
0
0
=
Z
0 + 6 i:
3 Considerando la rama principal de la raíz cuadrada:
1
f (z) = e 2 Log(z) ;
donde Log(z) = ln jzj+iArg(z); es la rama principal del logaritmo. Calcule
Z
f (z) dz; (k 2 f1; 2g)
k
donde
a
1
(t) = eit ; t 2 [0; ] :
b
2
(t) = e
it
; t 2 [0; ] :
R3.a Por de…nición
Z
f (z) dz
=
Z
1
1 (t))
1
ite 2 Log(
0
1
(t) dt
0
1
=
Z
e 2 Log(e
)
ieit dt
0
=
Z
it
it
1
e 2 (lnje j+iArg(e )) ieit dt
0
=
Z
1
e 2 it ieit dt
0
=
i
Z
3
e 2 it dt
0
=
i
Z
cos
0
=
2
3
2
2i
3
3t
2
+ i sin
3t
2
dt
R3.b Por de…nición
Z
f (z) dz
=
Z
1
e 2 Log(
0
2
2 (t))
(t) dt
0
2
=
Z
e 2 Log(e
it
)
i
e 2 (lnje
it
j+iArg(e
1
ie
it
dt
0
=
Z
1
0
=
i
Z
1
2 ite
it
e
it
))
e
it
dt
dt
0
=
i
Z
3
2 it
e
dt
0
=
i
Z
3t
2
cos
0
=
i
Z
3t
2
cos
0
=
3t
2
+ i sin
i sin
3t
2
dt
dt
2 2i
+
3
3
4 Considerando la función f (z) = z y la trayectoria dada por
1
t) eit ; t 2 [0; 2 ] :
(t) = (3
calcule
Z
f (z) dz
1
R4 Para describir la curva descrita por 1 (t) = (3
bio de variables u = (t 3 ) ; luego
(3
t) eit =
uei(u+3
Notemosque si t = 0; entonces u =
)
=
t) eit ; tomaremos el cam-
ueiu ei3 = ueiu
3 y si t = 2 ; entonces u =
:
Entonces la trayectoria (u) = ueiu = (u cos (u) + iu sin (u)) ; y (u) descibe
una sección de espiral comprendida desde el punto ( 3 ) = 3 +0i hasta
3
el punto
(
)=
+ 0i:
y
14
12
10
8
6
4
2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
4
6
8
10
12
14
z2
2 ;
por el
x
-4
-6
-8
-10-12
-14
Grá…co obtenido con herramientas computacionales
Note que se recorre en sentido antihorario
Pero como la función f (z) = z; tiene una antiderivada F (z) =
teorema fundamental del Cálculo se tiene que
Z
f (z) dz = F ( 1 (2 )) F ( 1 (0))
1
= F( (
2
=
=
(3 )
2
2
4
))
F ( ( 3 ))
2
2
5 Sea a 2 R+ : Considerando el conjunto A = z 2 C : jzj
calcule la integral
Z
a^0
ez dz
@A+
parademostrar que
Z 2
ea cos(t) cos (t + a sin (t)) dt =
0
4
sin (a)
:
a
Arg (z)
2
;
R5 Notemos que la región A es la región correspondiente al 1 cuadrante e
interior a la circunferencia jzj = a:
y
x
como @A es una curva de Jordan s.p.p, y f (z) = ez es una función analítica
en C (función entera), entonces independiente del radio a; se tiene que
Z
ez dz = 0:
@A+
Ahora si parametrizamos (demanera independiente) los trozos suaves de @A;
como
entonces
0
1
1
(t)
=
2
(t)
= aeit ;
3
(t)
=
Z
at;
0
2
0
3
ati;
ez dz =
@A+
(t) = a; (t 2 [0; 1])
Z
(t) = aieit ;
h
t 2 0;
2
i
(t) = ai; (t 2 [0; 1])
ez dz +
1
Z
ez dz
2
Z
ez dz
3
(signos acordes a la orientación de @A+ ).
Al desarrollar las integrales obtenemos
0
=
a
Z
1
at
e dt +
0
0
=
ea
Z
2
it
e(ae )aieit dt
0
1 + ai
Z
2
ai
Z
1
eati dt
0
e(a cos(t)+i(a sin(t)+t)) dt
0
5
eai
1
simpli…cando y reordenando términos obtenemos:
i
Z
2
ea cos(t) (cos (a sin (t) + t) + i sin (a sin (t) + t)) dt
=
eai
a
0
i
Z
2
Z
ea cos(t) cos (a sin (t) + t) dt
0
2
ea cos(t) sin (a sin (t) + t) dt
0
=
cos (at)
a
al igualar las partes imaginarias obtenemos
Z
2
ea cos(t) cos (t + a...
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