Problemas Teoría Electromangetica

6.9 Determine la frecuencia a la cual la intensidad de un campo eléctrico con
dependencia armónica con el tiempo causa una densidad de corriente de
conducción y una densidad de corriente de desplazamiento de igual magnitud en:
a) El agua de mar con ε r = 72 y σ = 4 [S m] .
b) La tierra húmeda con ε r = 2.5 y σ = 10 −3 [S m] .
Desarrollo:
La densidad de corriente de conducción está dada porla siguiente ecuación:
J = σE

Mientras que la densidad de corriente de desplazamiento en magnitud está dada por:

ωεE
Por enunciado, ambas densidad deben ser iguales, por lo que igualando tenemos lo
siguiente:

σE = ωεE
Simplificando:

σ = ωε
Despejamos ω

ω=

σ
ε

Sabemos que:

ω = 2πf
Reemplazamos y despejamos f :

f=

σ
2πε

Además, debemos considerar que:

ε =ε rε 0

y

ε0 =
Por lo que tenemos:

f=

10 −9
36π

σ
2πε r ε 0

Por lo tanto, reemplazando los datos de los incisos (a ) y (b) obtenemos la frecuencia
pedida.

a)

f=

4
10 −9
2π ⋅ 72 ⋅
36π

⇒ f = 1[GHz ]

b)

f=

10 −3
10 −9
2π ⋅ 2.5 ⋅
36π

⇒ f = 7.2[MHz ]

6.9 Una lámina infinita con corriente J = a x 5 [ A m] , coincidente con el plano xy ,
separa elaire (región 1, z > 0 ) de un medio con µ r 2 = 2 (región 2, z < 0 ). Si
H 1 = a x 30 + a y 40 + a z 20 [A m] , calcule:
a)
b)
c)
d)

H2
B2
El ángulo α 1 que forma B1 con el eje z.
El ángulo α 2 que forma B2 con el eje z.

Desarrollo:
Al ser dos medios sin pérdidas, ya que la conductividad se asume cero para ambos
medios, se pueden aplicar las condiciones de fronteras entre dos mediossin pérdidas.
Por lo que:

a) H 1t = H 2t , como se puede observar, la componente tangencial está en el sentido
a x , ya que éste es la única posibilidad de ser tangente a la dirección en que fluctúa la
corriente.
Por lo tanto:
H 2t = a x 30[ A m]
Por otra parte, a z es la componente normal de H , ya que z es normal al plano xy .
Por consiguiente:

µ1 H 1n = µ 2 H 2 n
con

µ 2 = 2 µ0 , µ1 = µ 0 y H 1n = 20[A m] .
Reemplazando:

µ 0 20a z = 2µ 0 H 2 n
Simplificando, tenemos:
H 2 n = a z 10[A m]

Para determinar la otra componente, utilizaremos la siguiente ecuación:
a n 2 × ( H 1 − H 2 ) = J s (1)
donde

H 1 = a x 30 + a y 40 + a z 20 [A m]
y

H 2 = a x 30 + H 2 y + a z 10 [A m]
entonces

H 1 − H 2 = a y 40 − H 2 y
Ahora, realizaremos el producto cruz dela ecuación (1) :
ax

ay

az

0

0

1 = ax 5

0

40 − H 2 y

10

⇒ − (40 − H 2 y )a x = a x 5
Simplificando:
⇒ H 2 y = 45 en dirección a y .
Por lo tanto:

H 2 y = a y 45
Entonces:

H 2 = a x 30 + a y 45 + a z 10 [ A m]

b) Para determinar B2 , nuevamente utilizamos las condiciones de fronteras entre dos
medios sin pérdidas:
B1n = B2 n → µ1 H 1n = µ 2 H 2 nEntonces, tenemos lo siguiente:
B2 = µ1 H 1 = µ 2 H 2

Como podemos ver, podemos determinar B2 de dos formas, en este caso lo haremos de
la siguiente manera:
B2 = µ 2 H 2
Sabemos que µ 2 = 2 µ 0 , por lo que reemplazando:
B2 = 2 µ 0 H 2

c) Primero, se determina B1 y se realiza de igual manera como se determinó B2 .
Por lo tanto:
B1 = µ 0 H 1
Reemplazando H 1 :

B1 = µ 0 (a x 30 + a y 40 + az 20 )
Ahora, se mostrará un diagrama es donde se puede apreciar claramente el vector B1 :

Se muestran los ángulos α1 y β1 , que corresponden al ángulo que forma B1 con el eje
z y el que forma con el plano xy , respectivamente.
Entonces, geométricamente tenemos que:

α 1 + β1 = 90º (2)
Determinaremos el ángulo β1 , a través del triángulo rectángulo OPQ :
- Podemos determinar el trazoOP mediante el Teorema de Pitágoras:

OP = µ 0

(30)2 + (40)2

⇒ OP = µ 0 50
- Conocemos la altura de este triángulo rectángulo que es el trazo PQ :
PQ = µ 0 20
- Ahora, determinamos, mediante Pitágoras, el trazo OQ :

OQ = µ 0

(20)2 + (50)2

⇒ OQ = µ 0 53.85
- Sabemos que:

cos β1 =

50
53.85

Aplicamos arccos y obtenemos:
⇒ β1 = 21.79º
Reemplazamos este valor en (2) :...