Proceso de Ortonormalización

Proyecciones Ortogonales: Proceso de Gram-Schmidt
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
20 de noviembre de 2010

´
Indice
28.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
28.2. Ortogonalidad a un espacio . . . . . . . . . .
28.3. Proyecci´n ortogonal . . . . . . . . . . . . . .
o
28.4. Proceso de ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt
o

28.1.

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1
1
1
3

Introducci´n
o

Enesta lectura veremos el proceso para ortogonalizar un conjunto de vectores. Este proceso es conocido
como el proceso de Gram-Schmidt.

28.2.

Ortogonalidad a un espacio

Teorema
Sea V un espacio vectorial con producto interno •. El vector u es ortogonal a todo vector de
W = Gen{v1 , . . . , vk } si y s´lo si
o
u • vi = 0, para todo i = 1, 2 . . . , k
Demostraci´n
o
Si u es ortogonala todo W , entonces es ortogonal a todo elemento de W . Los elementos vi son tambi´n
e
elementos de W . Por tanto, para cada i = 1, 2, . . . , k se cumple u • vi = 0.
Supongamos que para cada i = 1, 2, . . . , k se cumpla u • vi = 0, y sea v un elemento cualquiera de W . Como
W est´ generado por los vi , deben existir ci tales que:
a
v = c1 v1 + · · · + ck vk
Haciendo el producto internocon u:
u • v = c1 u • v1 + · · · + ck u • vk
=
c1 · 0 + · · · + ck · 0 = 0
por tanto, u es ortogonal a todo elemento de W .

28.3.

Proyecci´n ortogonal
o

Nuestro principal resultado referente a ortoginalidad es el siguiente.
Teorema

Suponga que V es un espacio vectorial con producto interno. Y sea b un vector de V y W un
subespacio lineal de V . Si W posee una base ortogonal,entonces
1. Existe z ∈ W tal que b − z ⊥ W .

2. El vector z que cumple lo anterior es unico.
´

3. Para todo y de W : d(z, b) ≤ d(y, b).
Demostraci´n
o

Sea B = {a1 , a2 , . . . , ak } una base ortogonal para W . Definamos
z=

b • a1
a1 • a1

a1 +

b • a2
a2 • a2

a2 + · · · +

b • ak
ak • ak

ak

Por conveniencia representaremos

b • ai
ai • ai
Veamos que z cumple elrequisito 1. De acuerdo al resultado previo debemos probar que (b − z) • ai = 0 para
cada i = 1, 2, . . . , k. Si utilizamos las propiedades del producto interno y la ortogonalidad de B tenemos:
fi =

(b − z) • ai =

= b•

=
=
=
=

k
j=1 fj aj • ai
k
ai −
j=1 fj aj •
a i − k fj a j • a i
j=1

b−

ai

b•
b • a i − fi a i • a i
b•a
b • ai − ai •aii ai • ai
b • ai − b •ai = 0

Por lo anterior y el teorema previo concluimos que b − z ⊥ W .
Supongamos que el vector y de W tambi´n cumple la condici´n 1. Es decir, que b − y es ortogonal a todo
e
o
vector de W . Para probar que y = z, veamos que la magnitud de y − z es cero.
(y − z) • (y − z) = (y − z + b − b) • (y − z)
= (−(b − y) + (b − z)) • (y − z)
= −(b − y) • (y − z) + (b − z) • (y − z)
Como z y y sonelementos de W y W es un subespacio lineal, y − z est´ en W . y como los vectores b − z y
a
b − y son perpendicuales a todo vector de W se obtiene que:
(b − y) • (y − z) = 0 y (b − z) • (y − z) = 0
de esta manera tenemos que
Por tanto

(y − z) • (y − z) = 0

Y as´ y − z = 0; de donde concluimos que y = z.
ı
Ahora, sea y un vector cualquiera de W , as´
ı:
(b − y) • (b − y) =
=
=
=y−z

2

=0

(b − y + z − z) • (b − y + z − z)
((b − z) + (z − y)) • ((b − z) + (z − y))
(b − z) • (b − z) + (b − z) • (z − y) + (z − y) • (b − z) + (z − y) • (z − y)
(b − z) • (b − z) + (z − y) • (z − y)
2

Por tanto
d(y, b)2 = d(z, b)2 + d(y, z)2
De donde concluimos que d(x, b) ≤ d(y, b) para todo y de W .
Definici´n 28.1
o
Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea...