Procesos

Método Gráfico

Capítulo 3
Método Gráfico

Introducción
En el presente capítulo se muestra la solución a varios tipos de problemas de programación
lineal que solamente tienen en su formulación dos variables empleando el método gráfico.
Conjunto convexo
Un conjunto C es un conjunto convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de
puntos de C se encuentra completamente en C.Conjunto convexo

Conjunto no convexo
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1. Problema de única solución
Maximice Z = 2X1 + X2
C.S.R.

2X1 - X2
X1 - X2
X1 + 2X2
X1 + 4X2

<
<
<
<

8
3
14
24

Xj > 0 ; j = 1 , 2
Cálculos analíticos para graficar el sistema de inecuaciones lineales, incluyendo la condición
de no negatividad (Xj > 0 ; j = 1, 2), que nos indica que solamente trabajaremos enel primer
cuadrante del plano cartesiano, cuadrante en donde X1 y X2 son positivas.
1º Restricción
2º Restricción
3º Restricción
4º Restricción Función Objetivo
2X1 - X2 < 8
X1 - X2 < 3
X1 + 2X2 < 14
X1 + 4X2 < 24
Z = 2X1 + X2
2X1 - X2 = 8
X1 - X2 = 3
X1 + 2X2 = 14
X1 + 4X2 = 24
2X1 + X2 = 2
X1 = 0
X2 = 0 X1 = 0 X2 = 0 X1 = 0
X2 = 0 X1 = 0 X2 = 0 X1 = 0
X2 = 0
X2 = -8 X1 = 4 X2= -3 X1 = 3 X2 = 7 X1 = 14 X2 = 6 X1 = 24 X2 = 2
X1 = 1
P(0,0) => 0 < 8
P(0,0) => 0 < 3
P ( 0 , 0 ) = > 0 < 14
P(0,0) => 0 < 2 4
Verdad
Verdad
Verdad
Verdad
Restricciones
Fíjese que para cada inecuación, primero suponemos que es una igualdad y luego tabulamos
dos puntos fáciles de calcular, como lo son las intersecciones de la recta con los ejes
cartesianos abcisa y ordenada, estosiempre que el término independiente (Lado derecho de
la inecuación) sea diferente de cero, es decir siempre y cuando la recta no pase por el
origen de coordenadas P(0,0).
A continuación con un punto de prueba cualquiera P(X1 , X2), (Asegúrese que se encuentre al
lado derecho ó izquierdo de la recta, NO sobre ella, es decir, el punto de prueba NO puede
pertenecer a la recta), Aquí, como yasabemos que la recta no pasa por el origen de
coordenadas (Término independiente diferente de cero), usamos como punto de prueba
P(0,0), es decir X1 = 0, X2 = 0 que nos facilita los cálculos cuando lo remplacemos en la
inecuación y observamos si la hace una verdad ó una falsedad; Averiguar esto nos permite
conocer si el área solución de la inecuación está al lado derecho ó izquierdo (Por supuesto,incluyendo los puntos sobre la recta, ya que todas las inecuaciones son menor ó igual ( < ));
Si el punto de prueba hace verdad la inecuación lineal, entonces, todos los puntos que se
encuentran al mismo lado del punto de prueba la harán verdad, si el punto de prueba no hace
verdad la inecuación lineal, los puntos que la harán verdad están al lado contrario en donde
se encuentra el punto deprueba. Esto es, si el punto de prueba se encuentra al lado
izquierdo de la recta y hace verdad la inecuación, entonces el área de soluciones para ésta
inecuación, son todos los puntos que pertenecen a la recta y los que se encuentran al lado
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Método Gráfico
izquierdo de ella. Si el punto de prueba situado a la izquierda de la recta, no hace verdad la
inecuación, entonces el área desoluciones para ésta inecuación, son todos los puntos que
pertenecen a la recta y los que se encuentran al lado derecha de ella.
Función objetivo
La función objetivo Z = 2X1 + X2 expresada como 2X1 + X2 = Z tiene la estructura de una
línea recta, solo que no conocemos su término independiente. Graficando ésta ecuación con
diferentes valores para Z, observamos que la función objetivo, representauna familia de
rectas paralelas, que al aumentar el valor de Z la recta se desplaza hacia el lado derecho,
por lo que concluimos que Z aumenta cuando la recta se desplaza paralelamente hacia la
derecha, esto se cumple siempre que la ecuación de la función objetiva tenga pendiente
negativa, es decir inclinada al lado izquierdo. Para funciones objetivo con pendiente positiva
(Inclinadas al...