Producto Cartesiano

PRODUCTO CARTESIANO
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:
A × B ={(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.1
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Definición
Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dos conjuntosA y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:
El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.


El conjunto Z2 puede visualizarsecomo el conjunto de puntos en el plano cuya S coordenadas son números enteros.
Ejemplos
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Ejemplo 1
Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar losnúmeros enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).
Ejemplo 3
Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:
, , ,
, , , ,
El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de unplano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:






[editar]Generalizaciones
[editar]Caso finito
Dado un número finito de conjuntos A1, A2, ..., An, su producto cartesiano se define como el conjunto de n-tuplas cuyo primer elemento está en A1, cuyo segundo elemento está en A2, etc.
Elproducto cartesiano de un número finito de conjuntos A1, ..., An es el conjunto de las n-tuplas cuyo elemento k-ésimo pertenece a Ak, para cada 1 ≤ k≤ n:

Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como A3 = A × A × A, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básica como:
A1 × ... × An = A1× ( A2 × ( ... × An )...)
o construcciones similares.
Caso infinito
En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la "entrada k-ésima":
El productocartesiano de una familia indexada de conjuntos F = {Ai}i ∈ I es el conjunto de las aplicaciones f : I → ∪F cuyo dominio es el conjunto índiceI y sus imágenes son elementos de algún Ai; que cumplen que para cada i ∈ I se tiene f(i) ∈ Ai:

donde ∪F denota la unión de todos los Ai. Dado un j ∈ I, la proyección sobre la coordenada j es la aplicación:

En el caso de una familia finita de conjuntos{A1, ..., An} indexada por el conjunto In = {1, ..., n}, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicaciones f : In → ∪i Ai de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una identificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior puede considerarse como la más general.
Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas...