Productos Notables

Productos notables
Definición
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 2. Binomio de Suma al Cuadrado ( a - b )2 = a2 - 2ab + b23. Binomio Diferencia al Cuadrado ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 4. Diferencia de Cuadrados ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3= a3 + b3 + 3 ab (a + b) 5. Binomio Suma al Cubo ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 6. Binomio Diferencia al Cubo a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) 7. Suma de dos Cubos | * Diferencia de Cubosa3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) * Trinomio Suma alCuadrado ó Cuadrado de un Trinomio( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac) * Trinomio Suma al Cubo( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) * Identidades de Legendre( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab * Producto de dos binomios que tienen un término común( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab |
 Ejemplos:
1. Solución :

Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios
x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2
Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :
(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2
(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1
(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2
= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)
2. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2
M = ( a+ b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
Solución
Ordenando los productos notables tenemos :
( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
* **
Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :
( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :
( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6+ b6
Remplazando en la expresión inicial tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12
Ordenando los factores tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12
¨
aplicando productos notables en "¨ " :
( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.
Ecuaciones de primer grado
SOLUCIÓN NUMÉRICA Y GRÁFICA
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación:3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, comoseguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:
3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.
Decimos en este caso que la ecaución tiene solución. Pero:
¿qué significa gráficamente esta solución?
Observa la siguiente escena. La línea rectadibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación. Cambia los valores de x en la ventana inferior, señalando sobre las flechitas con el ratón o "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.
El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = -1,5)
 

Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo.Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el...