productos notables

TMA09_S01_LE02 (Produc Notables)
2.2.2 PRODUCTOS NOTABLES

Entre los productos notables podemos mencionar:
1. Cuadrado de un binomio
2. Binomios conjugados
3. Binomios con un termino común
4. Cubo de un binomio
Denominados productos notables, llamados así porque para resolverlos no es necesario efectuar la multiplicación; si no que deberás de seguir una serie de pasos o reglas, según seael caso, para llegar a la solución. Antes de iniciar, es necesario hacerte saber que este subtema es de mucha utilidad para resolver ejercicios en los demás cursos de matemáticas durante tu bachillerato.
Cuadrado de un binomio.


Observa la operación algebraica siguiente: (3x + 2 )2.
Como vez la podemos expresar como (3x + 2)(3x + 2) y si resolvemos horizontalmente este producto queda:(3x + 2)(3x + 2) = 9x2 + 6x + 6x + 4
Con producto notable podemos resolver el cuadrado de un binomio aplicando el siguiente procedimiento que dice:
1) Elevar al cuadrado el primer término del binomio.
2) Agregar a este término, el doble producto del primer término del binomio por el segundo, teniendo cuidado de respetar el signo que genere la multiplicación (que puede ser positivo o negativo)3) A los términos anteriores agregar el cuadrado del segundo término del binomio.
Este procedimiento se reduce en la siguiente expresión algebraica:
(a + b) (a + b) = (a+ b)2 = a2 +2ab + b2

Producto de binomios conjugados
La representación algebraica de este tipo producto notable es:
(x + y) (x – y)
suma diferencia¿Recuerdas a Javier? El hijo de Don Marcos. Javier decide comprar 3 metros de terreno al frente (largo) del terreno suyo, pero al mismo tiempo vende 3 metros por la lateral (ancho) de su terreno. ¿Cómo queda el nuevo terreno de Javier?.
Ancho (6) 6-3

largo (6)
6+3


Volvamos a colorear; de verde el original, de amarillo la venta y de verde la compra. ¿Qué encontraste?_____________________________________
__________________________________
Hagámoslo algebraicamente:
(6 – 3) (6 + 3) = 36 + 18 – 18 – 9 = 36 – 9 = 27 m2.
Comprobémoslo aritméticamente:
6 + 3 = 9
6 – 3 = 3
por lo que el área = A=9 x 3 = 27 m2
¿Es lo mismo? __________________________
Observa los ejemplos siguientes:
(7 + 5) (7 – 5) = 49 – 35 + 35 – 25 = 49 – 25 = 24
(10 + 3) (10 –3) = 100 – 30 +30 – 9 = 100 – 9 = 91
Podrás observar que los productos de la parte media se han eliminado por tener signos diferentes; tratemos de resolver los ejercicios siguientes escribiendo directamente el resultado.
(11 – 4) (11 + 4) =
(8 +7) (8 - 7) =
¿Podrías escribir una regla para obtener el resultado? ________ ¿Cuál es?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Cambiemos los números por letras y apliquemos el mismo procedimiento, para comprobar tu regla.
(x +y) (x -y) = x2 – xy + xy – y2 = x2 – y2 o bien:

(a +b) (a -b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
Como puedes notar, el resultado es similar, e incluso el orden de los factores noaltera el producto.




Compara tu definición con el enunciado siguiente:
El producto de la suma y la diferencia de dos términos, es igual al cuadrado del primer término de los binomios, menos el cuadrado del segundos término de los binomios.








Producto de binomios con un término común.
¿Qué crees que paso con Roberto? El hermano de Javier. No se quiso quedar atrás y decidióvender un metro de su terreno (ancho), pero compró 2 metros más (largo).
¿Cómo queda ahora el terreno de Roberto?.





¿Cómo calcularías el área nueva que tiene Roberto? ______________________
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Compruébalo aritméticamente y geométricamente utilizando los pasos o...