Productos notables

Productos notables

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
PRODUCTOS NOTABLES
CONCEPTO DE PRODUCTO NOTABLE
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen
al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicaciónsimplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A
continuación se describen los más importantes.

CUADRADO DE UN BINOMIO
El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio.
El desarrollo del cuadrado del binomio a + b sepuede obtener multiplicando término a término:

(a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
“El cuadrado de un binomio a + b es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de
los términos más el cuadrado del segundo término”.
Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a − b , también multiplicando término a término, se obtiene:

(a − b )2 = (a − b)(a − b ) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
“El cuadrado de un binomio a − b es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto
de los términos más el cuadrado del segundo término”.
En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por
lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que:

(a − b )2 =[a + (− b )]2 = a 2 + 2a (− b ) + b 2 = a 2 − 2ab + b 2

Ejemplos.
1) (a + 4) = a 2 + 2(a )(4) + 4 2 = a 2 + 8a + 16
2

2) (2 x + 3 y ) = (2 x ) + 2 (2 x )(3 y ) + (3 y ) = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
2

2

2

3) (b − 5) = b 2 + 2(b )(− 5) + 5 2 = b 2 − 10b + 25
2

4) (6k − 8m ) = (6k ) + 2(6k )(− 8m ) + (− 8m ) = 36k 2 − 96km + 64m 2
2

2

2

2

2

2

2
5
2
2
5
5
45
25
5)  a + b  =  a  + 2 a  b  +  b  = a 2 + ab + b 2


    
3

(

4

6) 7 p − 9q
2

3 

) = (7 p )

32

22

 3  4   4 

(

+2 7p

2

)(− 9q ) + (9q )
3

32

9

3

7) (− 2 k + 5 ) = (− 2 k ) + 2(− 2 k )(5 ) + 5 2 = 4 k 2 − 20 k + 25
2

16

= 49 p − 126 p 2 q 3 + 81q 6
4

2

1

Productos notables

Facultad deContaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Representación geométrica de (a + b ) :
2

Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a + b y las regiones que estas medidas generan
en el cuadrado. Los segmentos a y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas
menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro menor de lado b , y dosrectángulos de largo a y ancho
b . La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado
a +b:

Representación geométrica de (a − b ) :
2

a

Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a . Los
segmentos a − b y b horizontales y verticales dividen al cuadrado
en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a − b y otro
menor delado b , y dos rectángulos de largo a − b y ancho b . La
suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al
2
área total del cuadrado de lado a . Por lo tanto, el área del
cuadrado de a − b es igual al área total menos el área de los
rectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es:

a−b

a −b

b

(a − b )2

(a − b )b
a

b

(a − b )2 = a 2 − 2(a − b )b − b 2 = a2 − 2ab + 2b 2 − b 2 = a 2 − 2ab + b 2

(a − b )b

b2

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

CUADRADO DE UN POLINOMIO
El producto de un trinomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un trinomio.
El desarrollo del cuadrado del trinomio a + b + c se puede obtener de la siguiente forma:

(a + b + c )2 = [(a + b ) + c ]2 = (a + b )2 + 2(a + b )c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c 2...