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Aritmética modular

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Aritmética modular
En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para
clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de
congruencia. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl
Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae.[1]
Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que
los números «dan lavuelta» tras alcanzar cierto valor llamado
módulo.[]

Cubierta de la edición original de Disquisitiones
arithmeticae de Gauss, libro fundamental de la
aritmética modular.

Relación de congruencia
La aritmética modular puede ser construida matemáticamente mediante
la relación de congruencia entre enteros, que es compatible con las
operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, ymultiplicación. Para
un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:[2]
a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo
n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o,
equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n.

El tiempo llevado por este reloj usa aritmética en
módulo 12.

Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación deGauss:[2]

Así se tiene por ejemplo

ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir por 10, o, equivalentemente, 63 − 83 es un múltiplo de 10.
Se lee:[2]
«63 es congruente con 83, módulo 10», o «63 y 83 son congruentes uno con otro, módulo 10».
«Módulo» a veces se abrevia con la palabra «mod» al hablar, de la misma manera que como está escrito y proviene
de la palabra modulus dellatín, la lengua de los escritos originales de Gauss. Así, el número n, que en este ejemplo

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es 10, sería el modulus.
Otro ejemplo; cuando el módulo es 12, entonces cualesquiera dos números que divididos por doce den el mismo
resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro. Los números
..., −34, −22, −10, 2, 14, 26,...
son todos "congruentes módulo 12" unos conotros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos
por 12. La colección de todos esos números es una clase de congruencia.[3]

Propiedades principales
Clases de equivalencia módulo n
La aritmética modular se basa en una relación de equivalencia, y las clases de equivalencia de un entero a se denota
con [a]n (o simplemente [a] si sobreentendemos el módulo.) Otras notaciones sonpor ejemplo a + nZ o a mod n. El
conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con Z/nZ = { [0]n, [1]n, [2]n,..., [n-1]n }.[]
Esta relación de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definición:[]
Si

y

entonces

y

Lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones bien definidas sobre el conjunto de las clases de
equivalencia.En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre Z/nZ mediante las fórmulas
siguientes:[]

De este modo, Z/nZ se convierte en un anillo con n elementos. Por ejemplo, en el anillo Z/12Z, se tiene :[8]12[3]12 +
[6]12 = [30]12 = [6]12.

Resolución de congruencias
Si a y b son enteros, la congruencia: ax ≡ b (mod n) tiene solución x si y sólo si el máximo común divisor (a,n)
divide a b. Los detalles están recogidos en el teorema de congruencia lineal. Sistemas de congruencias más
complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el método de sustitución
sucesiva.[4]
En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ax ≡ 1 (mod n), vemos que a tiene un inverso multiplicativo si y
sólo si a y n son coprimos. Por tanto,Z/nZ es un cuerpo si y sólo si n es un primo.[5] Se puede probar que cada
cuerpo finito es una extensión de Z/pZ para algún primo p.

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Pequeño teorema de Fermat y teorema de Euler
Un hecho importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son números primos es el pequeño teorema de
Fermat: si p es un número primo, entonces:[6]
Si a es cualquier entero:...