prog.

Resolución de Problemas Geométricos
Giovanni Sanabria Brenes, ITCR
gsanabria@itcr.ac.cr

Resumen
El presente trabajo brinda una aplicación de la Teoría de Campos Conceptuales, de
Gérard Vergnaud, a la resolución de problemas geométricos. La resolución de cierto tipo
de problemas geométricos no puede ser algoritmizadas y requiere un proceso de reflexión
y exploración que recurre a variosesquemas adquiridos. Se introduce el concepto de
esquema principal que permite alimentar la intuición necesaria para la resolución de estos
problemas.
Palabras claves: Geometría, Didáctica, Campos Conceptuales.

1

Introducción

Las habilidades que una persona requiera para resolver con éxito un problema matemático son
variadas y dependen del tipo de problema a resolver, estás involucrasprocesos de reflexión,
de ensayo y error, de conjetura, de búsqueda de patrones, de razonamiento inducción y
deducción, entre otras.
Particularmente, estos procesos se evidencian en una gran variedad de problemas geométricos. Estos problemas son calificados usualmente como los más difíciles, quizás por que no
hay un camino trazado para resolverlos. En su resolución se distinguen dos componentesprincipales: la escritura y los procesos a seguir para resolverlo. El primer componente se
debe caracterizar por su rigurosidad y formalidad. El otro componente requiere educar la
intuición y el ordenamiento de ideas, para deducir intuitivamente la manera de resolver el
problema.
Al considerar las matemáticas como un lenguaje, los componentes anteriormente señalados
son llamados: sintáctico ysemántico. El componente sintáctico nos permite comunicarnos
con los demás, se caracteriza por una serie de reglas que regulan la forma de conectar las
"palabras", para formar "oraciones" que permitan expresarnos. La semántica, por un lado
le da significado a las oraciones que recibimos, y por otro, nos permite comunicarnos con
1

Problemas Geométricos

Giovanni Sanabria

nosotrosmismos y organizar, con la intuición, nuestras ideas para luego expresarlas por
medio de "oraciones" a los demás.
¿Quién domina en matemática: la sintaxis o la semántica? Gödel responde a esta interrogante:
la sintáctica y la semántica son equivalentes, es decir hay una relación bidirreccional entre
ambos componentes. Así, se concluyen dos aspectos importantes:
1. La rigurosidad (sintaxis) regulay enrumba la intuición (semántica). No basta con
tener la idea de como demostrar un teorema, la escritura nos permite ordenar las ideas
y desechar aquellas que se alejan del razonamiento y de dudosa validez.
2. La intuición es el motor de la rigurosidad. No es suficiente con saberse de memoria
los teoremas, las definiciones y manejar el uso de los símbolos, la intuición nos traza el
camino pocoa poco a la solución del problema.
¿Cómo educar la intuición en la resolución de problemas geométricos? El presente trabajo
desarrollará algunas técnicas elementales que permiten alimentar la intuición para hacer frente
a los problemas geométricos.

2

Los problemas Geométricos

Antes de enfocarse en los problemas Geométricos, se debe responder, al menos parcialmente, a
la pregunta:¿Cómo resolver problemas? Para responderla se toma como marco de referencia
para la resolución de problemas la Teoría de Campos Conceptuales de Gérard Vergnaud,
pues como señala Vergnaud su teoría cognitivista pretende proporcionar un marco coherente
y algunos principios de base para el estudio del desarrollo y del aprendizaje de competencias
complejas.
Un concepto importante en esta teoría es elconcepto de esquema: organización invariante
de la conducta para una clase de situaciones (problemas) dada. En un esquema hay cierta
automatización sin impedir el control de la situación. Son como algoritmos pero tienen mucho
implícito.
Ejemplo 1 Un ejemplo de esquema es la Resolución de Ecuaciones ax+b=c.
Desde este punto de vista, los problemas geométricos se pueden clasificar en dos...