PROGRAMACIÓN LINEAL Y NO LINEAL
Páginas: 6 (1453 palabras)
Publicado: 26 de septiembre de 2014
Ejercicios varios de Programación lineal y no lineal .
Ecuación de la oferta y la demanda
Punto de equilibrio
Ganancia
Utilidades
ecuaciones lineales
desigualdades
Concepto: Programación Lineal.
algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, tambiénlineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método deeliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.
Los fundadores de la técnicason George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cualdemostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejorasignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la soluciónóptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones factibles que deben ser revisadas.
Variables[editar]
Las variables son números reales mayores o iguales a cero. X_i\geq 0
En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea unnúmero entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.
Restricciones[editar]
Las restricciones pueden ser de la forma:
Tipo 1: A_j = \sum_{i=1}^N a_{i,j} \times X_i
Tipo 2: B_j \leq \sum_{i=1}^N b_{i,j} \times X_i
Tipo 3: C_j \geq \sum_{i=1}^N c_{i,j} \times X_i
Donde:
A = valor conocido a ser respetado estrictamente;
B = valor conocido que debe serrespetado o puede ser superado;
C = valor conocido que no debe ser superado;
j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);
a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;
X = Incógnitas, de 1 a N;
i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.
Sin embargo si lasrestricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.
Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.
Función Objetivo[editar]
La función objetivo puede ser:
Max! = \sum_{i=1}^N f_{i} \times X_i
o
Min! = \sum_{i=1}^N f_{i} \times X_i
Donde:
f_{i} = coeficientes son relativamente...
Ecuación de la oferta y la demanda
Punto de equilibrio
Ganancia
Utilidades
ecuaciones lineales
desigualdades
Concepto: Programación Lineal.
algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, tambiénlineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método deeliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.
Los fundadores de la técnicason George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cualdemostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejorasignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la soluciónóptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones factibles que deben ser revisadas.
Variables[editar]
Las variables son números reales mayores o iguales a cero. X_i\geq 0
En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea unnúmero entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.
Restricciones[editar]
Las restricciones pueden ser de la forma:
Tipo 1: A_j = \sum_{i=1}^N a_{i,j} \times X_i
Tipo 2: B_j \leq \sum_{i=1}^N b_{i,j} \times X_i
Tipo 3: C_j \geq \sum_{i=1}^N c_{i,j} \times X_i
Donde:
A = valor conocido a ser respetado estrictamente;
B = valor conocido que debe serrespetado o puede ser superado;
C = valor conocido que no debe ser superado;
j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);
a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;
X = Incógnitas, de 1 a N;
i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.
Sin embargo si lasrestricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.
Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.
Función Objetivo[editar]
La función objetivo puede ser:
Max! = \sum_{i=1}^N f_{i} \times X_i
o
Min! = \sum_{i=1}^N f_{i} \times X_i
Donde:
f_{i} = coeficientes son relativamente...
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