Programacion dinamica en area minera

1.- Enunciado del problema
Una nueva empresa se encuentra realizando la planificación en su nueva adquisición, este proyecto Greenfield tiene un único commodity a extraer de interes. En términos económicos como variable exógena tenemos el precio del commodity que evoluciona a través del tiempo según un movimiento geométrico browniano:

Se requiere determinar el cuándo invertir paracomenzar la producción, la producción optima de la operación y cuanto capital dirigir a exploración en cada instante de tiempo.

El yacimiento cuenta con un stock de S0 inicialmente, La capacidad de producción de operación es de k toneladas por unidad de tiempo, el costo por producción unitario es C(q,s,T,t), el costo por exploración está determinado por Ce(D,T,t) y la cantidad de recursosdescubiertos en cierto instante t tienen directa relación con la exploración realizada. También existe una variable exógena peculiar de este proyecto, la temperaturas, la humedad, precipitaciones son relevantes por esto que existen costos extras asociados a la exploración y operación sobre todo en invierno, donde se necesita más energía, mas combustible, ocurre congelamiento, licuefacción de suelos,etc. esta variable de estado es T(t), la que representa la calidad del ambiente en la operación y exploración, siendo malo cuando este valor es muy alto y bueno cuando toma valores bajos.
La empresa cuenta con un tiempo de 50 años para realizar la operación y los estudios de ingeniería han indicado que se necesita una Inversión inicial de 10.000.000 US

2.- Variables relevantes del problemadescrito

- Variables de Control:







- Variables de Estado:








3.- Planteamiento del Problema















4.- Desarrollo de Condiciones:
4.1 Tiempo optimo para realizar la inversión y comenzar a producir (I*)

Todavía no se ha invertido, no se ha comenzado a producir por lo tanto no hay utilidad, Definimos F(V) como el valor de la oportunidadde inversión y por la programación dinámica y el principio de optimalidad de Bellman tenemos que:


El lema de Itô nos dice que:

Entonces tenemos que:

Remplazando en la primera ecuación y despejando llegamos a esto:



Resolviendo esta ecuación encontramos el valor de V*del cual obtenemos el instante I* que nos dice el momento optimo para invertir. También realizamos lasimplificación de que el valor de la oportunidad de inversión no varía con el tiempo (Ft=0), no depende del stock (Fs=0), ni tampoco de la calidad del ambiente (FT=0). Esto debido a que si invierto en un año u otro el stock no cambia, la temperatura no cambia en relación a periodos anteriores (muy poco), así como el tiempo.
La solución a esta ecuación diferencial de segundo orden es en general delotipo:

En adición, F(V) tiene que cumplir las siguientes condiciones de borde:
i) Si V va a 0, este se quedara en 0, implicación del proceso estocástico de V:

Trabajando esta condición tenemos que:


Remplazando en la ecuación (1):



Simplificando llegamos a:


El B1 entonces será la solución de la ecuación cuadrática:

Ahora nos falta encontrar A1 y V, Tenemos las siguientesecuaciones para encontrar estas incógnitas:
ii) Condición de equilibrio:




iii) Condición de Pegado Suave:



Si dividimos estas condiciones, ii) en iii) obtenemos lo siguiente:


Una vez remplazado B1 y obtenido el valor esperado optimo para invertir (VAN que gatilla la inversión) encontramos el momento optimo para realizar la inversión y comenzar la producción I*, desde esteinstante determinamos la producción optima y cuanto capital dirigir a exploración.
4.2 Producción optima (q*) y capital dirigido a exploración (D*)

Una vez determinado el momento de comienzo de la operación, tenemos que encontrar la producción óptima y el capital que será dirigido a exploración. Esto lo hacemos resolviendo el problema minero con incertidumbre planteado en la parte 3):...